Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101130 / 98058
↖ ↑ ↗
← S 66.242525°
E 97.761841°		 ← 123.02 m → S 66.242525°
E 97.764587°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.243632°
E 97.761841°		 ← 123.01 m →
15 134 m²		 S 66.243632°
E 97.764587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771564483642578 y=0.748126983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771564483642578 × 217)
    floor (0.771564483642578 × 131072)
    floor (101130.5)     		tx = 101130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748126983642578 × 217)
    floor (0.748126983642578 × 131072)
    floor (98058.5)     		ty = 98058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101130 / 98058 ti = "17/101130/98058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101130/98058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101130 ÷ 217
    101130 ÷ 131072     		x = 0.771560668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98058 ÷ 217
    98058 ÷ 131072     		y = 0.748123168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771560668945312 × 2 - 1) × π
    0.543121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70626601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748123168945312 × 2 - 1) × π
    -0.496246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55900384944347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70626601} λ = 1.70626601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55900384944347))-π/2
    2×atan(0.210345502660353)-π/2
    2×0.207323080763338-π/2
    0.414646161526676-1.57079632675     		φ = -1.15615017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70626601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.761841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15615017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.242525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101130 KachelY 98058 1.70626601 -1.15615017 97.761841 -66.242525
    Oben rechts KachelX + 1 101131 KachelY 98058 1.70631394 -1.15615017 97.764587 -66.242525
    Unten links KachelX 101130 KachelY + 1 98059 1.70626601 -1.15616948 97.761841 -66.243632
    Unten rechts KachelX + 1 101131 KachelY + 1 98059 1.70631394 -1.15616948 97.764587 -66.243632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15615017--1.15616948) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15615017--1.15616948) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70626601-1.70631394) × cos(-1.15615017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402866097459797 × 6371000     		do = 123.020009338577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70626601-1.70631394) × cos(-1.15616948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402848423734766 × 6371000     		du = 123.014612454024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15615017)-sin(-1.15616948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402866097459797-0.402848423734766)×R²
    abs(1.70631394-1.70626601)×1.76737250315862e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76737250315862e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76737250315862e-05×40589641000000     		ar = 15134.0828862343m²