Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101128 / 98072
↖ ↑ ↗
← S 66.258011°
E 97.756348°		 ← 122.97 m → S 66.258011°
E 97.759094°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
S 66.259117°
E 97.756348°		 ← 122.96 m →
15 120 m²		 S 66.259117°
E 97.759094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771549224853516 y=0.748233795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771549224853516 × 217)
    floor (0.771549224853516 × 131072)
    floor (101128.5)     		tx = 101128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748233795166016 × 217)
    floor (0.748233795166016 × 131072)
    floor (98072.5)     		ty = 98072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101128 / 98072 ti = "17/101128/98072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101128/98072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101128 ÷ 217
    101128 ÷ 131072     		x = 0.77154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98072 ÷ 217
    98072 ÷ 131072     		y = 0.74822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77154541015625 × 2 - 1) × π
    0.5430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70617013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55967496603815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70617013} λ = 1.70617013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55967496603815))-π/2
    2×atan(0.210204383661849)-π/2
    2×0.207187937211716-π/2
    0.414375874423433-1.57079632675     		φ = -1.15642045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70617013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.756348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15642045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.258011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101128 KachelY 98072 1.70617013 -1.15642045 97.756348 -66.258011
    Oben rechts KachelX + 1 101129 KachelY 98072 1.70621807 -1.15642045 97.759094 -66.258011
    Unten links KachelX 101128 KachelY + 1 98073 1.70617013 -1.15643975 97.756348 -66.259117
    Unten rechts KachelX + 1 101129 KachelY + 1 98073 1.70621807 -1.15643975 97.759094 -66.259117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15642045--1.15643975) × R
    1.93000000001664e-05 × 6371000     		dl = 122.96030000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15642045--1.15643975) × R
    1.93000000001664e-05 × 6371000     		dr = 122.96030000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70617013-1.70621807) × cos(-1.15642045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402618706564478 × 6371000     		do = 122.970116390218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70617013-1.70621807) × cos(-1.15643975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402601039891292 × 6371000     		du = 122.964720533487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15642045)-sin(-1.15643975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402618706564478-0.402601039891292)×R²
    abs(1.70621807-1.70617013)×1.76666731858122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76666731858122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76666731858122e-05×40589641000000     		ar = 15120.1106647856m²