Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101128 / 98055
↖ ↑ ↗
← S 66.239205°
E 97.756348°		 ← 123.06 m → S 66.239205°
E 97.759094°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
S 66.240312°
E 97.756348°		 ← 123.06 m →
15 147 m²		 S 66.240312°
E 97.759094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771549224853516 y=0.748104095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771549224853516 × 217)
    floor (0.771549224853516 × 131072)
    floor (101128.5)     		tx = 101128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748104095458984 × 217)
    floor (0.748104095458984 × 131072)
    floor (98055.5)     		ty = 98055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101128 / 98055 ti = "17/101128/98055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101128/98055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101128 ÷ 217
    101128 ÷ 131072     		x = 0.77154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98055 ÷ 217
    98055 ÷ 131072     		y = 0.748100280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77154541015625 × 2 - 1) × π
    0.5430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70617013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748100280761719 × 2 - 1) × π
    -0.496200561523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55886003874461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70617013} λ = 1.70617013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55886003874461))-π/2
    2×atan(0.210375754769329)-π/2
    2×0.207352050897685-π/2
    0.414704101795371-1.57079632675     		φ = -1.15609222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70617013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.756348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15609222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.239205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101128 KachelY 98055 1.70617013 -1.15609222 97.756348 -66.239205
    Oben rechts KachelX + 1 101129 KachelY 98055 1.70621807 -1.15609222 97.759094 -66.239205
    Unten links KachelX 101128 KachelY + 1 98056 1.70617013 -1.15611154 97.756348 -66.240312
    Unten rechts KachelX + 1 101129 KachelY + 1 98056 1.70621807 -1.15611154 97.759094 -66.240312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15609222--1.15611154) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15609222--1.15611154) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70617013-1.70621807) × cos(-1.15609222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402919136038263 × 6371000     		do = 123.061875284566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70617013-1.70621807) × cos(-1.15611154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40290145361163 × 6371000     		du = 123.056474616327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15609222)-sin(-1.15611154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402919136038263-0.40290145361163)×R²
    abs(1.70621807-1.70617013)×1.76824266325815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76824266325815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76824266325815e-05×40589641000000     		ar = 15147.0732702614m²