Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101128 / 97544
↖ ↑ ↗
← S 65.667329°
E 97.756348°		 ← 125.85 m → S 65.667329°
E 97.759094°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.668461°
E 97.756348°		 ← 125.84 m →
15 834 m²		 S 65.668461°
E 97.759094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771549224853516 y=0.744205474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771549224853516 × 217)
    floor (0.771549224853516 × 131072)
    floor (101128.5)     		tx = 101128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744205474853516 × 217)
    floor (0.744205474853516 × 131072)
    floor (97544.5)     		ty = 97544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101128 / 97544 ti = "17/101128/97544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101128/97544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101128 ÷ 217
    101128 ÷ 131072     		x = 0.77154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97544 ÷ 217
    97544 ÷ 131072     		y = 0.74420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77154541015625 × 2 - 1) × π
    0.5430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70617013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.4884033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53436428303876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70617013} λ = 1.70617013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53436428303876))-π/2
    2×atan(0.215592703552949)-π/2
    2×0.212342607300907-π/2
    0.424685214601814-1.57079632675     		φ = -1.14611111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70617013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.756348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14611111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.667329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101128 KachelY 97544 1.70617013 -1.14611111 97.756348 -65.667329
    Oben rechts KachelX + 1 101129 KachelY 97544 1.70621807 -1.14611111 97.759094 -65.667329
    Unten links KachelX 101128 KachelY + 1 97545 1.70617013 -1.14613086 97.756348 -65.668461
    Unten rechts KachelX + 1 101129 KachelY + 1 97545 1.70621807 -1.14613086 97.759094 -65.668461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14611111--1.14613086) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dl = 125.827249999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14611111--1.14613086) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dr = 125.827249999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70617013-1.70621807) × cos(-1.14611111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412033981627711 × 6371000     		do = 125.845783743708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70617013-1.70621807) × cos(-1.14613086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412015985969884 × 6371000     		du = 125.840287406599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14611111)-sin(-1.14613086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412033981627711-0.412015985969884)×R²
    abs(1.70621807-1.70617013)×1.79956578278406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79956578278406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79956578278406e-05×40589641000000     		ar = 15834.483098421m²