Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101127 / 99085
↖ ↑ ↗
← S 67.353613°
E 97.753601°		 ← 117.60 m → S 67.353613°
E 97.756348°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.354671°
E 97.753601°		 ← 117.60 m →
13 831 m²		 S 67.354671°
E 97.756348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771541595458984 y=0.755962371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771541595458984 × 217)
    floor (0.771541595458984 × 131072)
    floor (101127.5)     		tx = 101127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755962371826172 × 217)
    floor (0.755962371826172 × 131072)
    floor (99085.5)     		ty = 99085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101127 / 99085 ti = "17/101127/99085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101127/99085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101127 ÷ 217
    101127 ÷ 131072     		x = 0.771537780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99085 ÷ 217
    99085 ÷ 131072     		y = 0.755958557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771537780761719 × 2 - 1) × π
    0.543075561523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70612219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755958557128906 × 2 - 1) × π
    -0.511917114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60823504535326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70612219} λ = 1.70612219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60823504535326))-π/2
    2×atan(0.20024071816312)-π/2
    2×0.197627008903749-π/2
    0.395254017807499-1.57079632675     		φ = -1.17554231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70612219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.753601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17554231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.353613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101127 KachelY 99085 1.70612219 -1.17554231 97.753601 -67.353613
    Oben rechts KachelX + 1 101128 KachelY 99085 1.70617013 -1.17554231 97.756348 -67.353613
    Unten links KachelX 101127 KachelY + 1 99086 1.70612219 -1.17556077 97.753601 -67.354671
    Unten rechts KachelX + 1 101128 KachelY + 1 99086 1.70617013 -1.17556077 97.756348 -67.354671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17554231--1.17556077) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17554231--1.17556077) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70612219-1.70617013) × cos(-1.17554231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38504263301992 × 6371000     		do = 117.60193112158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70612219-1.70617013) × cos(-1.17556077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38502559624271 × 6371000     		du = 117.596727651294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17554231)-sin(-1.17556077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38504263301992-0.38502559624271)×R²
    abs(1.70617013-1.70612219)×1.70367772099334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70367772099334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70367772099334e-05×40589641000000     		ar = 13830.6995462555m²