Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101126 / 99086
↖ ↑ ↗
← S 67.354671°
E 97.750855°		 ← 117.57 m → S 67.354671°
E 97.753601°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.355728°
E 97.750855°		 ← 117.57 m →
13 820 m²		 S 67.355728°
E 97.753601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771533966064453 y=0.755970001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771533966064453 × 217)
    floor (0.771533966064453 × 131072)
    floor (101126.5)     		tx = 101126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755970001220703 × 217)
    floor (0.755970001220703 × 131072)
    floor (99086.5)     		ty = 99086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101126 / 99086 ti = "17/101126/99086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101126/99086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101126 ÷ 217
    101126 ÷ 131072     		x = 0.771530151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99086 ÷ 217
    99086 ÷ 131072     		y = 0.755966186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771530151367188 × 2 - 1) × π
    0.543060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70607426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755966186523438 × 2 - 1) × π
    -0.511932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60828298225288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70607426} λ = 1.70607426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60828298225288))-π/2
    2×atan(0.200231119473981)-π/2
    2×0.197617780232847-π/2
    0.395235560465694-1.57079632675     		φ = -1.17556077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70607426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.750855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17556077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.354671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101126 KachelY 99086 1.70607426 -1.17556077 97.750855 -67.354671
    Oben rechts KachelX + 1 101127 KachelY 99086 1.70612219 -1.17556077 97.753601 -67.354671
    Unten links KachelX 101126 KachelY + 1 99087 1.70607426 -1.17557922 97.750855 -67.355728
    Unten rechts KachelX + 1 101127 KachelY + 1 99087 1.70612219 -1.17557922 97.753601 -67.355728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17556077--1.17557922) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17556077--1.17557922) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70607426-1.70612219) × cos(-1.17556077) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38502559624271 × 6371000     		do = 117.572197670706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70607426-1.70612219) × cos(-1.17557922) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385008568563424 × 6371000     		du = 117.566998063993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17556077)-sin(-1.17557922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38502559624271-0.385008568563424)×R²
    abs(1.70612219-1.70607426)×1.70276792857416e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70276792857416e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70276792857416e-05×40589641000000     		ar = 13819.7125034296m²