Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101124 / 98564
↖ ↑ ↗
← S 66.796239°
E 97.745361°		 ← 120.34 m → S 66.796239°
E 97.748108°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.797321°
E 97.745361°		 ← 120.33 m →
14 482 m²		 S 66.797321°
E 97.748108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771518707275391 y=0.751987457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771518707275391 × 217)
    floor (0.771518707275391 × 131072)
    floor (101124.5)     		tx = 101124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751987457275391 × 217)
    floor (0.751987457275391 × 131072)
    floor (98564.5)     		ty = 98564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101124 / 98564 ti = "17/101124/98564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101124/98564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101124 ÷ 217
    101124 ÷ 131072     		x = 0.771514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98564 ÷ 217
    98564 ÷ 131072     		y = 0.751983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771514892578125 × 2 - 1) × π
    0.54302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70597838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.50396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58325992065121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70597838} λ = 1.70597838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58325992065121))-π/2
    2×atan(0.205304728997493)-π/2
    2×0.202491018582328-π/2
    0.404982037164656-1.57079632675     		φ = -1.16581429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70597838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.745361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16581429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.796239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101124 KachelY 98564 1.70597838 -1.16581429 97.745361 -66.796239
    Oben rechts KachelX + 1 101125 KachelY 98564 1.70602632 -1.16581429 97.748108 -66.796239
    Unten links KachelX 101124 KachelY + 1 98565 1.70597838 -1.16583318 97.745361 -66.797321
    Unten rechts KachelX + 1 101125 KachelY + 1 98565 1.70602632 -1.16583318 97.748108 -66.797321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16581429--1.16583318) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16581429--1.16583318) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70597838-1.70602632) × cos(-1.16581429) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.39400225028234 × 6371000     		do = 120.338428854627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70597838-1.70602632) × cos(-1.16583318) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393984888234064 × 6371000     		du = 120.333126038185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16581429)-sin(-1.16583318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39400225028234-0.393984888234064)×R²
    abs(1.70602632-1.70597838)×1.73620482753489e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73620482753489e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73620482753489e-05×40589641000000     		ar = 14482.1930082773m²