Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101124 / 97540
↖ ↑ ↗
← S 65.662803°
E 97.745361°		 ← 125.87 m → S 65.662803°
E 97.748108°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.663934°
E 97.745361°		 ← 125.86 m →
15 837 m²		 S 65.663934°
E 97.748108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771518707275391 y=0.744174957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771518707275391 × 217)
    floor (0.771518707275391 × 131072)
    floor (101124.5)     		tx = 101124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744174957275391 × 217)
    floor (0.744174957275391 × 131072)
    floor (97540.5)     		ty = 97540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101124 / 97540 ti = "17/101124/97540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101124/97540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101124 ÷ 217
    101124 ÷ 131072     		x = 0.771514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97540 ÷ 217
    97540 ÷ 131072     		y = 0.744171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771514892578125 × 2 - 1) × π
    0.54302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70597838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.48834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53417253544028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70597838} λ = 1.70597838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53417253544028))-π/2
    2×atan(0.215634046899722)-π/2
    2×0.212382114015004-π/2
    0.424764228030008-1.57079632675     		φ = -1.14603210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70597838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.745361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14603210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.662803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101124 KachelY 97540 1.70597838 -1.14603210 97.745361 -65.662803
    Oben rechts KachelX + 1 101125 KachelY 97540 1.70602632 -1.14603210 97.748108 -65.662803
    Unten links KachelX 101124 KachelY + 1 97541 1.70597838 -1.14605185 97.745361 -65.663934
    Unten rechts KachelX + 1 101125 KachelY + 1 97541 1.70602632 -1.14605185 97.748108 -65.663934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14603210--1.14605185) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14603210--1.14605185) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70597838-1.70602632) × cos(-1.14603210) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.412105971763122 × 6371000     		do = 125.867771384671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70597838-1.70602632) × cos(-1.14605185) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.412087976748294 × 6371000     		du = 125.862275243951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14603210)-sin(-1.14605185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412105971763122-0.412087976748294)×R²
    abs(1.70602632-1.70597838)×1.79950148284647e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79950148284647e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79950148284647e-05×40589641000000     		ar = 15837.249755238m²