Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101123 / 98052
↖ ↑ ↗
← S 66.235885°
E 97.742615°		 ← 123.05 m → S 66.235885°
E 97.745361°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.236992°
E 97.742615°		 ← 123.05 m →
15 138 m²		 S 66.236992°
E 97.745361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771511077880859 y=0.748081207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771511077880859 × 217)
    floor (0.771511077880859 × 131072)
    floor (101123.5)     		tx = 101123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748081207275391 × 217)
    floor (0.748081207275391 × 131072)
    floor (98052.5)     		ty = 98052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101123 / 98052 ti = "17/101123/98052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101123/98052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101123 ÷ 217
    101123 ÷ 131072     		x = 0.771507263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98052 ÷ 217
    98052 ÷ 131072     		y = 0.748077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771507263183594 × 2 - 1) × π
    0.543014526367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70593045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.49615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55871622804575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70593045} λ = 1.70593045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55871622804575))-π/2
    2×atan(0.210406011229195)-π/2
    2×0.207381024845353-π/2
    0.414762049690705-1.57079632675     		φ = -1.15603428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70593045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.742615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15603428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.235885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101123 KachelY 98052 1.70593045 -1.15603428 97.742615 -66.235885
    Oben rechts KachelX + 1 101124 KachelY 98052 1.70597838 -1.15603428 97.745361 -66.235885
    Unten links KachelX 101123 KachelY + 1 98053 1.70593045 -1.15605359 97.742615 -66.236992
    Unten rechts KachelX + 1 101124 KachelY + 1 98053 1.70597838 -1.15605359 97.745361 -66.236992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15603428--1.15605359) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15603428--1.15605359) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70593045-1.70597838) × cos(-1.15603428) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.402972164111522 × 6371000     		do = 123.052398066093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70593045-1.70597838) × cos(-1.15605359) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.402954491288138 × 6371000     		du = 123.047001456868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15603428)-sin(-1.15605359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402972164111522-0.402954491288138)×R²
    abs(1.70597838-1.70593045)×1.76728233844958e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76728233844958e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76728233844958e-05×40589641000000     		ar = 15138.0674943196m²