Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101122 / 99090
↖ ↑ ↗
← S 67.358900°
E 97.739868°		 ← 117.58 m → S 67.358900°
E 97.742615°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.359957°
E 97.739868°		 ← 117.57 m →
13 820 m²		 S 67.359957°
E 97.742615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771503448486328 y=0.756000518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771503448486328 × 217)
    floor (0.771503448486328 × 131072)
    floor (101122.5)     		tx = 101122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756000518798828 × 217)
    floor (0.756000518798828 × 131072)
    floor (99090.5)     		ty = 99090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101122 / 99090 ti = "17/101122/99090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101122/99090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101122 ÷ 217
    101122 ÷ 131072     		x = 0.771499633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99090 ÷ 217
    99090 ÷ 131072     		y = 0.755996704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771499633789062 × 2 - 1) × π
    0.542999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70588251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755996704101562 × 2 - 1) × π
    -0.511993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60847472985136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70588251} λ = 1.70588251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60847472985136))-π/2
    2×atan(0.200192729318409)-π/2
    2×0.197580869631878-π/2
    0.395161739263756-1.57079632675     		φ = -1.17563459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70588251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17563459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.358900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101122 KachelY 99090 1.70588251 -1.17563459 97.739868 -67.358900
    Oben rechts KachelX + 1 101123 KachelY 99090 1.70593045 -1.17563459 97.742615 -67.358900
    Unten links KachelX 101122 KachelY + 1 99091 1.70588251 -1.17565304 97.739868 -67.359957
    Unten rechts KachelX + 1 101123 KachelY + 1 99091 1.70593045 -1.17565304 97.742615 -67.359957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17563459--1.17565304) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17563459--1.17565304) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70588251-1.70593045) × cos(-1.17563459) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384957466280556 × 6371000     		do = 117.575919007731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70588251-1.70593045) × cos(-1.17565304) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384940438076932 × 6371000     		du = 117.570718156039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17563459)-sin(-1.17565304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384957466280556-0.384940438076932)×R²
    abs(1.70593045-1.70588251)×1.70282036245362e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70282036245362e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70282036245362e-05×40589641000000     		ar = 13820.1498544676m²