Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101122 / 98054
↖ ↑ ↗
← S 66.238099°
E 97.739868°		 ← 123.07 m → S 66.238099°
E 97.742615°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.239205°
E 97.739868°		 ← 123.06 m →
15 140 m²		 S 66.239205°
E 97.742615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771503448486328 y=0.748096466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771503448486328 × 217)
    floor (0.771503448486328 × 131072)
    floor (101122.5)     		tx = 101122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748096466064453 × 217)
    floor (0.748096466064453 × 131072)
    floor (98054.5)     		ty = 98054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101122 / 98054 ti = "17/101122/98054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101122/98054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101122 ÷ 217
    101122 ÷ 131072     		x = 0.771499633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98054 ÷ 217
    98054 ÷ 131072     		y = 0.748092651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771499633789062 × 2 - 1) × π
    0.542999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70588251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748092651367188 × 2 - 1) × π
    -0.496185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55881210184499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70588251} λ = 1.70588251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55881210184499))-π/2
    2×atan(0.210385839772488)-π/2
    2×0.207361708456519-π/2
    0.414723416913038-1.57079632675     		φ = -1.15607291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70588251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15607291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.238099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101122 KachelY 98054 1.70588251 -1.15607291 97.739868 -66.238099
    Oben rechts KachelX + 1 101123 KachelY 98054 1.70593045 -1.15607291 97.742615 -66.238099
    Unten links KachelX 101122 KachelY + 1 98055 1.70588251 -1.15609222 97.739868 -66.239205
    Unten rechts KachelX + 1 101123 KachelY + 1 98055 1.70593045 -1.15609222 97.742615 -66.239205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15607291--1.15609222) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15607291--1.15609222) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70588251-1.70593045) × cos(-1.15607291) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402936809162223 × 6371000     		do = 123.0672731121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70588251-1.70593045) × cos(-1.15609222) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402919136038263 × 6371000     		du = 123.061875285136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15607291)-sin(-1.15609222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402936809162223-0.402919136038263)×R²
    abs(1.70593045-1.70588251)×1.76731239598937e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76731239598937e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76731239598937e-05×40589641000000     		ar = 15139.8974071664m²