Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101119 / 97871
↖ ↑ ↗
← S 66.034758°
E 97.731628°		 ← 124.06 m → S 66.034758°
E 97.734375°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.035874°
E 97.731628°		 ← 124.05 m →
15 388 m²		 S 66.035874°
E 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771480560302734 y=0.746700286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771480560302734 × 217)
    floor (0.771480560302734 × 131072)
    floor (101119.5)     		tx = 101119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746700286865234 × 217)
    floor (0.746700286865234 × 131072)
    floor (97871.5)     		ty = 97871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101119 / 97871 ti = "17/101119/97871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101119/97871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101119 ÷ 217
    101119 ÷ 131072     		x = 0.771476745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97871 ÷ 217
    97871 ÷ 131072     		y = 0.746696472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771476745605469 × 2 - 1) × π
    0.542953491210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70573870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746696472167969 × 2 - 1) × π
    -0.493392944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55003964921452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70573870} λ = 1.70573870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55003964921452))-π/2
    2×atan(0.212239558528129)-π/2
    2×0.209136190732985-π/2
    0.41827238146597-1.57079632675     		φ = -1.15252395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70573870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.731628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15252395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.034758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101119 KachelY 97871 1.70573870 -1.15252395 97.731628 -66.034758
    Oben rechts KachelX + 1 101120 KachelY 97871 1.70578664 -1.15252395 97.734375 -66.034758
    Unten links KachelX 101119 KachelY + 1 97872 1.70573870 -1.15254342 97.731628 -66.035874
    Unten rechts KachelX + 1 101120 KachelY + 1 97872 1.70578664 -1.15254342 97.734375 -66.035874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15252395--1.15254342) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15252395--1.15254342) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70573870-1.70578664) × cos(-1.15252395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406182371685194 × 6371000     		do = 124.058551446824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70573870-1.70578664) × cos(-1.15254342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40616458007731 × 6371000     		du = 124.05311743182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15252395)-sin(-1.15254342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406182371685194-0.40616458007731)×R²
    abs(1.70578664-1.70573870)×1.77916078838991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77916078838991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77916078838991e-05×40589641000000     		ar = 15388.3037725429m²