Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101116 / 97931
↖ ↑ ↗
← S 66.101607°
E 97.723389°		 ← 123.73 m → S 66.101607°
E 97.726136°		 →
↑
123.72 m
↓
↑
123.72 m
↓
S 66.102720°
E 97.723389°		 ← 123.73 m →
15 308 m²		 S 66.102720°
E 97.726136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771457672119141 y=0.747158050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771457672119141 × 217)
    floor (0.771457672119141 × 131072)
    floor (101116.5)     		tx = 101116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747158050537109 × 217)
    floor (0.747158050537109 × 131072)
    floor (97931.5)     		ty = 97931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101116 / 97931 ti = "17/101116/97931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101116/97931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101116 ÷ 217
    101116 ÷ 131072     		x = 0.771453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97931 ÷ 217
    97931 ÷ 131072     		y = 0.747154235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771453857421875 × 2 - 1) × π
    0.54290771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70559489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747154235839844 × 2 - 1) × π
    -0.494308471679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55291586319172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70559489} λ = 1.70559489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55291586319172))-π/2
    2×atan(0.211629989189528)-π/2
    2×0.208552824107902-π/2
    0.417105648215804-1.57079632675     		φ = -1.15369068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70559489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15369068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.101607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101116 KachelY 97931 1.70559489 -1.15369068 97.723389 -66.101607
    Oben rechts KachelX + 1 101117 KachelY 97931 1.70564283 -1.15369068 97.726136 -66.101607
    Unten links KachelX 101116 KachelY + 1 97932 1.70559489 -1.15371010 97.723389 -66.102720
    Unten rechts KachelX + 1 101117 KachelY + 1 97932 1.70564283 -1.15371010 97.726136 -66.102720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15369068--1.15371010) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dl = 123.724820000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15369068--1.15371010) × R
    1.94200000001032e-05 × 6371000     		dr = 123.724820000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70559489-1.70564283) × cos(-1.15369068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405115946887898 × 6371000     		do = 123.732837863956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70559489-1.70564283) × cos(-1.15371010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405098191779054 × 6371000     		du = 123.727414996698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15369068)-sin(-1.15371010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405115946887898-0.405098191779054)×R²
    abs(1.70564283-1.70559489)×1.77551088439976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77551088439976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77551088439976e-05×40589641000000     		ar = 15308.4876218432m²