Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101114 / 97894
↖ ↑ ↗
← S 66.060404°
E 97.717895°		 ← 123.93 m → S 66.060404°
E 97.720642°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
S 66.061519°
E 97.717895°		 ← 123.93 m →
15 357 m²		 S 66.061519°
E 97.720642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771442413330078 y=0.746875762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771442413330078 × 217)
    floor (0.771442413330078 × 131072)
    floor (101114.5)     		tx = 101114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746875762939453 × 217)
    floor (0.746875762939453 × 131072)
    floor (97894.5)     		ty = 97894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101114 / 97894 ti = "17/101114/97894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101114/97894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101114 ÷ 217
    101114 ÷ 131072     		x = 0.771438598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97894 ÷ 217
    97894 ÷ 131072     		y = 0.746871948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771438598632812 × 2 - 1) × π
    0.542877197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70549901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746871948242188 × 2 - 1) × π
    -0.493743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55114219790578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70549901} λ = 1.70549901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55114219790578))-π/2
    2×atan(0.212005683033892)-π/2
    2×0.208912385577755-π/2
    0.41782477115551-1.57079632675     		φ = -1.15297156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70549901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.717895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15297156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.060404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101114 KachelY 97894 1.70549901 -1.15297156 97.717895 -66.060404
    Oben rechts KachelX + 1 101115 KachelY 97894 1.70554695 -1.15297156 97.720642 -66.060404
    Unten links KachelX 101114 KachelY + 1 97895 1.70549901 -1.15299101 97.717895 -66.061519
    Unten rechts KachelX + 1 101115 KachelY + 1 97895 1.70554695 -1.15299101 97.720642 -66.061519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15297156--1.15299101) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dl = 123.915950000911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15297156--1.15299101) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dr = 123.915950000911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70549901-1.70554695) × cos(-1.15297156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405773308556354 × 6371000     		do = 123.933613037991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70549901-1.70554695) × cos(-1.15299101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405755531690097 × 6371000     		du = 123.92818352546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15297156)-sin(-1.15299101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405773308556354-0.405755531690097)×R²
    abs(1.70554695-1.70549901)×1.77768662568689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77768662568689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77768662568689e-05×40589641000000     		ar = 15357.0149955183m²