Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101112 / 98040
↖ ↑ ↗
← S 66.222600°
E 97.712402°		 ← 123.14 m → S 66.222600°
E 97.715149°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
S 66.223708°
E 97.712402°		 ← 123.14 m →
15 165 m²		 S 66.223708°
E 97.715149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771427154541016 y=0.747989654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771427154541016 × 217)
    floor (0.771427154541016 × 131072)
    floor (101112.5)     		tx = 101112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747989654541016 × 217)
    floor (0.747989654541016 × 131072)
    floor (98040.5)     		ty = 98040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101112 / 98040 ti = "17/101112/98040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101112/98040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101112 ÷ 217
    101112 ÷ 131072     		x = 0.77142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98040 ÷ 217
    98040 ÷ 131072     		y = 0.74798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77142333984375 × 2 - 1) × π
    0.5428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70540314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4959716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55814098525031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70540314} λ = 1.70540314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55814098525031))-π/2
    2×atan(0.210527080590072)-π/2
    2×0.207496958777308-π/2
    0.414993917554615-1.57079632675     		φ = -1.15580241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70540314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15580241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.222600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101112 KachelY 98040 1.70540314 -1.15580241 97.712402 -66.222600
    Oben rechts KachelX + 1 101113 KachelY 98040 1.70545108 -1.15580241 97.715149 -66.222600
    Unten links KachelX 101112 KachelY + 1 98041 1.70540314 -1.15582174 97.712402 -66.223708
    Unten rechts KachelX + 1 101113 KachelY + 1 98041 1.70545108 -1.15582174 97.715149 -66.223708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15580241--1.15582174) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15580241--1.15582174) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70540314-1.70545108) × cos(-1.15580241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403184363537896 × 6371000     		do = 123.14288258991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70540314-1.70545108) × cos(-1.15582174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403166674216687 × 6371000     		du = 123.13747981589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15580241)-sin(-1.15582174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403184363537896-0.403166674216687)×R²
    abs(1.70545108-1.70540314)×1.76893212088802e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76893212088802e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76893212088802e-05×40589641000000     		ar = 15164.8894060264m²