Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101112 / 97892
↖ ↑ ↗
← S 66.058175°
E 97.712402°		 ← 123.94 m → S 66.058175°
E 97.715149°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
S 66.059289°
E 97.712402°		 ← 123.94 m →
15 358 m²		 S 66.059289°
E 97.715149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771427154541016 y=0.746860504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771427154541016 × 217)
    floor (0.771427154541016 × 131072)
    floor (101112.5)     		tx = 101112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746860504150391 × 217)
    floor (0.746860504150391 × 131072)
    floor (97892.5)     		ty = 97892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101112 / 97892 ti = "17/101112/97892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101112/97892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101112 ÷ 217
    101112 ÷ 131072     		x = 0.77142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97892 ÷ 217
    97892 ÷ 131072     		y = 0.746856689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77142333984375 × 2 - 1) × π
    0.5428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70540314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746856689453125 × 2 - 1) × π
    -0.49371337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55104632410654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70540314} λ = 1.70540314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55104632410654))-π/2
    2×atan(0.212026009798572)-π/2
    2×0.208931837944557-π/2
    0.417863675889115-1.57079632675     		φ = -1.15293265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70540314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15293265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.058175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101112 KachelY 97892 1.70540314 -1.15293265 97.712402 -66.058175
    Oben rechts KachelX + 1 101113 KachelY 97892 1.70545108 -1.15293265 97.715149 -66.058175
    Unten links KachelX 101112 KachelY + 1 97893 1.70540314 -1.15295210 97.712402 -66.059289
    Unten rechts KachelX + 1 101113 KachelY + 1 97893 1.70545108 -1.15295210 97.715149 -66.059289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15293265--1.15295210) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dl = 123.915950000911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15293265--1.15295210) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dr = 123.915950000911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70540314-1.70545108) × cos(-1.15293265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405808870967925 × 6371000     		do = 123.944474713862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70540314-1.70545108) × cos(-1.15295210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405791094408764 × 6371000     		du = 123.939045295125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15293265)-sin(-1.15295210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405808870967925-0.405791094408764)×R²
    abs(1.70545108-1.70540314)×1.77765591611312e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77765591611312e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77765591611312e-05×40589641000000     		ar = 15358.3609362806m²