Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101112 / 97816
↖ ↑ ↗
← S 65.973325°
E 97.712402°		 ← 124.36 m → S 65.973325°
E 97.715149°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.974443°
E 97.712402°		 ← 124.35 m →
15 465 m²		 S 65.974443°
E 97.715149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771427154541016 y=0.746280670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771427154541016 × 217)
    floor (0.771427154541016 × 131072)
    floor (101112.5)     		tx = 101112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746280670166016 × 217)
    floor (0.746280670166016 × 131072)
    floor (97816.5)     		ty = 97816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101112 / 97816 ti = "17/101112/97816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101112/97816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101112 ÷ 217
    101112 ÷ 131072     		x = 0.77142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97816 ÷ 217
    97816 ÷ 131072     		y = 0.74627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77142333984375 × 2 - 1) × π
    0.5428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70540314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70540314} λ = 1.70540314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54740311973541))-π/2
    2×atan(0.212799872698659)-π/2
    2×0.209672292073482-π/2
    0.419344584146965-1.57079632675     		φ = -1.15145174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70540314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15145174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.973325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101112 KachelY 97816 1.70540314 -1.15145174 97.712402 -65.973325
    Oben rechts KachelX + 1 101113 KachelY 97816 1.70545108 -1.15145174 97.715149 -65.973325
    Unten links KachelX 101112 KachelY + 1 97817 1.70540314 -1.15147126 97.712402 -65.974443
    Unten rechts KachelX + 1 101113 KachelY + 1 97817 1.70545108 -1.15147126 97.715149 -65.974443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15145174--1.15147126) × R
    1.95200000001616e-05 × 6371000     		dl = 124.36192000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15145174--1.15147126) × R
    1.95200000001616e-05 × 6371000     		dr = 124.36192000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70540314-1.70545108) × cos(-1.15145174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407161914973395 × 6371000     		do = 124.357729180485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70540314-1.70545108) × cos(-1.15147126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407144086186789 × 6371000     		du = 124.352283810142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15145174)-sin(-1.15147126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407161914973395-0.407144086186789)×R²
    abs(1.70545108-1.70540314)×1.78287866068327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78287866068327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78287866068327e-05×40589641000000     		ar = 15465.0273699781m²