Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10111 / 2429
↖ ↑ ↗
← N 77.480326°
E 42.165527°		 ← 529.64 m → N 77.480326°
E 42.187500°		 →
↑
529.75 m
↓
↑
529.75 m
↓
N 77.475562°
E 42.165527°		 ← 529.84 m →
280 629 m²		 N 77.475562°
E 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617156982421875 y=0.148284912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617156982421875 × 214)
    floor (0.617156982421875 × 16384)
    floor (10111.5)     		tx = 10111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148284912109375 × 214)
    floor (0.148284912109375 × 16384)
    floor (2429.5)     		ty = 2429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10111 / 2429 ti = "14/10111/2429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10111/2429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10111 ÷ 214
    10111 ÷ 16384     		x = 0.61712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2429 ÷ 214
    2429 ÷ 16384     		y = 0.14825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14825439453125 × 2 - 1) × π
    0.7034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21008282008307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73592728} λ = 0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21008282008307))-π/2
    2×atan(9.11647138869318)-π/2
    2×1.46154155928923-π/2
    2.92308311857846-1.57079632675     		φ = 1.35228679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35228679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.480326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10111 KachelY 2429 0.73592728 1.35228679 42.165527 77.480326
    Oben rechts KachelX + 1 10112 KachelY 2429 0.73631078 1.35228679 42.187500 77.480326
    Unten links KachelX 10111 KachelY + 1 2430 0.73592728 1.35220364 42.165527 77.475562
    Unten rechts KachelX + 1 10112 KachelY + 1 2430 0.73631078 1.35220364 42.187500 77.475562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35228679-1.35220364) × R
    8.31500000000318e-05 × 6371000     		dl = 529.748650000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35228679-1.35220364) × R
    8.31500000000318e-05 × 6371000     		dr = 529.748650000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73592728-0.73631078) × cos(1.35228679) × R
    0.000383500000000092 × 0.216774841982838 × 6371000     		do = 529.641310757692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73592728-0.73631078) × cos(1.35220364) × R
    0.000383500000000092 × 0.216856014061769 × 6371000     		du = 529.839636752945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35228679)-sin(1.35220364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216774841982838-0.216856014061769)×R²
    abs(0.73631078-0.73592728)×8.11720789311576e-05×R²
    0.000383500000000092×8.11720789311576e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.11720789311576e-05×40589641000000     		ar = 280629.300984243m²