Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101107 / 99511
↖ ↑ ↗
← S 67.799906°
E 97.698670°		 ← 115.38 m → S 67.799906°
E 97.701416°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.800944°
E 97.698670°		 ← 115.37 m →
13 312 m²		 S 67.800944°
E 97.701416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771389007568359 y=0.759212493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771389007568359 × 217)
    floor (0.771389007568359 × 131072)
    floor (101107.5)     		tx = 101107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759212493896484 × 217)
    floor (0.759212493896484 × 131072)
    floor (99511.5)     		ty = 99511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101107 / 99511 ti = "17/101107/99511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101107/99511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101107 ÷ 217
    101107 ÷ 131072     		x = 0.771385192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99511 ÷ 217
    99511 ÷ 131072     		y = 0.759208679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771385192871094 × 2 - 1) × π
    0.542770385742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70516346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759208679199219 × 2 - 1) × π
    -0.518417358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62865616459141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70516346} λ = 1.70516346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62865616459141))-π/2
    2×atan(0.196193048219468)-π/2
    2×0.193732363817048-π/2
    0.387464727634095-1.57079632675     		φ = -1.18333160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70516346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.698670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18333160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.799906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101107 KachelY 99511 1.70516346 -1.18333160 97.698670 -67.799906
    Oben rechts KachelX + 1 101108 KachelY 99511 1.70521139 -1.18333160 97.701416 -67.799906
    Unten links KachelX 101107 KachelY + 1 99512 1.70516346 -1.18334971 97.698670 -67.800944
    Unten rechts KachelX + 1 101108 KachelY + 1 99512 1.70521139 -1.18334971 97.701416 -67.800944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18333160--1.18334971) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18333160--1.18334971) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70516346-1.70521139) × cos(-1.18333160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377842298627743 × 6371000     		do = 115.378691328905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70516346-1.70521139) × cos(-1.18334971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377825531060666 × 6371000     		du = 115.373571150584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18333160)-sin(-1.18334971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377842298627743-0.377825531060666)×R²
    abs(1.70521139-1.70516346)×1.67675670777467e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67675670777467e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67675670777467e-05×40589641000000     		ar = 13311.9607253222m²