Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101105 / 99509
↖ ↑ ↗
← S 67.797831°
E 97.693176°		 ← 115.41 m → S 67.797831°
E 97.695923°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.798869°
E 97.693176°		 ← 115.41 m →
13 323 m²		 S 67.798869°
E 97.695923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771373748779297 y=0.759197235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771373748779297 × 217)
    floor (0.771373748779297 × 131072)
    floor (101105.5)     		tx = 101105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759197235107422 × 217)
    floor (0.759197235107422 × 131072)
    floor (99509.5)     		ty = 99509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101105 / 99509 ti = "17/101105/99509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101105/99509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101105 ÷ 217
    101105 ÷ 131072     		x = 0.771369934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99509 ÷ 217
    99509 ÷ 131072     		y = 0.759193420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771369934082031 × 2 - 1) × π
    0.542739868164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70506758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759193420410156 × 2 - 1) × π
    -0.518386840820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62856029079217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70506758} λ = 1.70506758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62856029079217))-π/2
    2×atan(0.196211858894097)-π/2
    2×0.193750477209343-π/2
    0.387500954418687-1.57079632675     		φ = -1.18329537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70506758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.693176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18329537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.797831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101105 KachelY 99509 1.70506758 -1.18329537 97.693176 -67.797831
    Oben rechts KachelX + 1 101106 KachelY 99509 1.70511552 -1.18329537 97.695923 -67.797831
    Unten links KachelX 101105 KachelY + 1 99510 1.70506758 -1.18331349 97.693176 -67.798869
    Unten rechts KachelX + 1 101106 KachelY + 1 99510 1.70511552 -1.18331349 97.695923 -67.798869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18329537--1.18331349) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18329537--1.18331349) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70506758-1.70511552) × cos(-1.18329537) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377875842648691 × 6371000     		do = 115.413008869559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70506758-1.70511552) × cos(-1.18331349) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.3778590660709 × 6371000     		du = 115.407884870872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18329537)-sin(-1.18331349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377875842648691-0.3778590660709)×R²
    abs(1.70511552-1.70506758)×1.6776577791533e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6776577791533e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6776577791533e-05×40589641000000     		ar = 13323.2728214983m²