Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101105 / 98022
↖ ↑ ↗
← S 66.202659°
E 97.693176°		 ← 123.24 m → S 66.202659°
E 97.695923°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.203767°
E 97.693176°		 ← 123.23 m →
15 185 m²		 S 66.203767°
E 97.695923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771373748779297 y=0.747852325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771373748779297 × 217)
    floor (0.771373748779297 × 131072)
    floor (101105.5)     		tx = 101105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747852325439453 × 217)
    floor (0.747852325439453 × 131072)
    floor (98022.5)     		ty = 98022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101105 / 98022 ti = "17/101105/98022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101105/98022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101105 ÷ 217
    101105 ÷ 131072     		x = 0.771369934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98022 ÷ 217
    98022 ÷ 131072     		y = 0.747848510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771369934082031 × 2 - 1) × π
    0.542739868164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70506758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747848510742188 × 2 - 1) × π
    -0.495697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55727812105714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70506758} λ = 1.70506758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55727812105714))-π/2
    2×atan(0.2107088152645)-π/2
    2×0.207670974143612-π/2
    0.415341948287223-1.57079632675     		φ = -1.15545438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70506758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.693176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15545438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.202659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101105 KachelY 98022 1.70506758 -1.15545438 97.693176 -66.202659
    Oben rechts KachelX + 1 101106 KachelY 98022 1.70511552 -1.15545438 97.695923 -66.202659
    Unten links KachelX 101105 KachelY + 1 98023 1.70506758 -1.15547372 97.693176 -66.203767
    Unten rechts KachelX + 1 101106 KachelY + 1 98023 1.70511552 -1.15547372 97.695923 -66.203767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15545438--1.15547372) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dl = 123.215140000926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15545438--1.15547372) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dr = 123.215140000926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70506758-1.70511552) × cos(-1.15545438) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403502827900262 × 6371000     		do = 123.24014980402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70506758-1.70511552) × cos(-1.15547372) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403485132142593 × 6371000     		du = 123.234745064139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15545438)-sin(-1.15547372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403502827900262-0.403485132142593)×R²
    abs(1.70511552-1.70506758)×1.76957576687453e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76957576687453e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76957576687453e-05×40589641000000     		ar = 15184.7193393564m²