Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101104 / 98128
↖ ↑ ↗
← S 66.319861°
E 97.690430°		 ← 122.64 m → S 66.319861°
E 97.693176°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.320964°
E 97.690430°		 ← 122.64 m →
15 041 m²		 S 66.320964°
E 97.693176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771366119384766 y=0.748661041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771366119384766 × 217)
    floor (0.771366119384766 × 131072)
    floor (101104.5)     		tx = 101104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748661041259766 × 217)
    floor (0.748661041259766 × 131072)
    floor (98128.5)     		ty = 98128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101104 / 98128 ti = "17/101104/98128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101104/98128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101104 ÷ 217
    101104 ÷ 131072     		x = 0.7713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98128 ÷ 217
    98128 ÷ 131072     		y = 0.7486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7713623046875 × 2 - 1) × π
    0.542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70501965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56235943241687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70501965} λ = 1.70501965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56235943241687))-π/2
    2×atan(0.209640853788165)-π/2
    2×0.206648192550903-π/2
    0.413296385101807-1.57079632675     		φ = -1.15749994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70501965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15749994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.319861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101104 KachelY 98128 1.70501965 -1.15749994 97.690430 -66.319861
    Oben rechts KachelX + 1 101105 KachelY 98128 1.70506758 -1.15749994 97.693176 -66.319861
    Unten links KachelX 101104 KachelY + 1 98129 1.70501965 -1.15751919 97.690430 -66.320964
    Unten rechts KachelX + 1 101105 KachelY + 1 98129 1.70506758 -1.15751919 97.693176 -66.320964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15749994--1.15751919) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dl = 122.641750000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15749994--1.15751919) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dr = 122.641750000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70501965-1.70506758) × cos(-1.15749994) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.401630341803429 × 6371000     		do = 122.642656482196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70501965-1.70506758) × cos(-1.15751919) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.401612712542982 × 6371000     		du = 122.637273175438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15749994)-sin(-1.15751919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401630341803429-0.401612712542982)×R²
    abs(1.70506758-1.70501965)×1.76292604472383e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76292604472383e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76292604472383e-05×40589641000000     		ar = 15040.7799070485m²