Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101100 / 98076
↖ ↑ ↗
← S 66.262434°
E 97.679443°		 ← 122.92 m → S 66.262434°
E 97.682190°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.263540°
E 97.679443°		 ← 122.92 m →
15 106 m²		 S 66.263540°
E 97.682190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771335601806641 y=0.748264312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771335601806641 × 217)
    floor (0.771335601806641 × 131072)
    floor (101100.5)     		tx = 101100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748264312744141 × 217)
    floor (0.748264312744141 × 131072)
    floor (98076.5)     		ty = 98076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101100 / 98076 ti = "17/101100/98076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101100/98076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101100 ÷ 217
    101100 ÷ 131072     		x = 0.771331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98076 ÷ 217
    98076 ÷ 131072     		y = 0.748260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771331787109375 × 2 - 1) × π
    0.54266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70482790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.49652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55986671363663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70482790} λ = 1.70482790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55986671363663))-π/2
    2×atan(0.210164081340152)-π/2
    2×0.2071493400143-π/2
    0.4142986800286-1.57079632675     		φ = -1.15649765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70482790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15649765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.262434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101100 KachelY 98076 1.70482790 -1.15649765 97.679443 -66.262434
    Oben rechts KachelX + 1 101101 KachelY 98076 1.70487583 -1.15649765 97.682190 -66.262434
    Unten links KachelX 101100 KachelY + 1 98077 1.70482790 -1.15651694 97.679443 -66.263540
    Unten rechts KachelX + 1 101101 KachelY + 1 98077 1.70487583 -1.15651694 97.682190 -66.263540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15649765--1.15651694) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15649765--1.15651694) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70482790-1.70487583) × cos(-1.15649765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402548038971972 × 6371000     		do = 122.922886353076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70482790-1.70487583) × cos(-1.15651694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402530380853033 × 6371000     		du = 122.917494234031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15649765)-sin(-1.15651694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402548038971972-0.402530380853033)×R²
    abs(1.70487583-1.70482790)×1.76581189393343e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76581189393343e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76581189393343e-05×40589641000000     		ar = 15106.4722297097m²