Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1011 / 1079
↖ ↑ ↗
← S  9.622414°
W  2.285156°		 ← 19.271 km → S  9.622414°
W  2.109375°		 →
↑
19.266 km
↓
↑
19.266 km
↓
S  9.795678°
W  2.285156°		 ← 19.261 km →
371.179 km²		 S  9.795678°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493896484375 y=0.527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493896484375 × 211)
    floor (0.493896484375 × 2048)
    floor (1011.5)     		tx = 1011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527099609375 × 211)
    floor (0.527099609375 × 2048)
    floor (1079.5)     		ty = 1079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1011 / 1079 ti = "11/1011/1079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1011/1079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1011 ÷ 211
    1011 ÷ 2048     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1079 ÷ 211
    1079 ÷ 2048     		y = 0.52685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.168737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168737886662598))-π/2
    2×atan(0.844730289446019)-π/2
    2×0.701426759007573-π/2
    1.40285351801515-1.57079632675     		φ = -0.16794281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16794281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.622414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1011 KachelY 1079 -0.03988350 -0.16794281 -2.285156 -9.622414
    Oben rechts KachelX + 1 1012 KachelY 1079 -0.03681554 -0.16794281 -2.109375 -9.622414
    Unten links KachelX 1011 KachelY + 1 1080 -0.03988350 -0.17096683 -2.285156 -9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 1012 KachelY + 1 1080 -0.03681554 -0.17096683 -2.109375 -9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16794281--0.17096683) × R
    0.00302401999999999 × 6371000     		dl = 19266.0314199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16794281--0.17096683) × R
    0.00302401999999999 × 6371000     		dr = 19266.0314199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03681554) × cos(-0.16794281) × R
    0.00306796 × 0.985930721388994 × 6371000     		do = 19270.9754178887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03681554) × cos(-0.17096683) × R
    0.00306796 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 19261.0072517258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16794281)-sin(-0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985930721388994-0.9854207357218)×R²
    abs(-0.03681554--0.03988350)×0.000509985667193291×R²
    0.00306796×0.000509985667193291×6371000²
    0.00306796×0.000509985667193291×40589641000000     		ar = 371179477.254205m²