Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101098 / 98348
↖ ↑ ↗
← S 66.561377°
E 97.673950°		 ← 121.49 m → S 66.561377°
E 97.676697°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
S 66.562469°
E 97.673950°		 ← 121.48 m →
14 760 m²		 S 66.562469°
E 97.676697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771320343017578 y=0.750339508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771320343017578 × 217)
    floor (0.771320343017578 × 131072)
    floor (101098.5)     		tx = 101098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750339508056641 × 217)
    floor (0.750339508056641 × 131072)
    floor (98348.5)     		ty = 98348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101098 / 98348 ti = "17/101098/98348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101098/98348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101098 ÷ 217
    101098 ÷ 131072     		x = 0.771316528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98348 ÷ 217
    98348 ÷ 131072     		y = 0.750335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771316528320312 × 2 - 1) × π
    0.542633056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70473202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.50067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57290555033328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70473202} λ = 1.70473202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57290555033328))-π/2
    2×atan(0.207441573940053)-π/2
    2×0.204540572616883-π/2
    0.409081145233766-1.57079632675     		φ = -1.16171518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70473202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.673950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16171518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.561377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101098 KachelY 98348 1.70473202 -1.16171518 97.673950 -66.561377
    Oben rechts KachelX + 1 101099 KachelY 98348 1.70477996 -1.16171518 97.676697 -66.561377
    Unten links KachelX 101098 KachelY + 1 98349 1.70473202 -1.16173425 97.673950 -66.562469
    Unten rechts KachelX + 1 101099 KachelY + 1 98349 1.70477996 -1.16173425 97.676697 -66.562469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16171518--1.16173425) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16171518--1.16173425) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70473202-1.70477996) × cos(-1.16171518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397766460424327 × 6371000     		do = 121.488115522201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70473202-1.70477996) × cos(-1.16173425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39774896388065 × 6371000     		du = 121.482771627401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16171518)-sin(-1.16173425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397766460424327-0.39774896388065)×R²
    abs(1.70477996-1.70473202)×1.7496543676998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7496543676998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7496543676998e-05×40589641000000     		ar = 14759.8703230599m²