Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101097 / 98347
↖ ↑ ↗
← S 66.560284°
E 97.671204°		 ← 121.47 m → S 66.560284°
E 97.673950°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
S 66.561377°
E 97.671204°		 ← 121.46 m →
14 757 m²		 S 66.561377°
E 97.673950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771312713623047 y=0.750331878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771312713623047 × 217)
    floor (0.771312713623047 × 131072)
    floor (101097.5)     		tx = 101097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750331878662109 × 217)
    floor (0.750331878662109 × 131072)
    floor (98347.5)     		ty = 98347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101097 / 98347 ti = "17/101097/98347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101097/98347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101097 ÷ 217
    101097 ÷ 131072     		x = 0.771308898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98347 ÷ 217
    98347 ÷ 131072     		y = 0.750328063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771308898925781 × 2 - 1) × π
    0.542617797851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70468409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750328063964844 × 2 - 1) × π
    -0.500656127929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57285761343366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70468409} λ = 1.70468409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57285761343366))-π/2
    2×atan(0.207451518284309)-π/2
    2×0.20455010667195-π/2
    0.409100213343901-1.57079632675     		φ = -1.16169611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70468409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.671204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16169611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.560284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101097 KachelY 98347 1.70468409 -1.16169611 97.671204 -66.560284
    Oben rechts KachelX + 1 101098 KachelY 98347 1.70473202 -1.16169611 97.673950 -66.560284
    Unten links KachelX 101097 KachelY + 1 98348 1.70468409 -1.16171518 97.671204 -66.561377
    Unten rechts KachelX + 1 101098 KachelY + 1 98348 1.70473202 -1.16171518 97.673950 -66.561377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16169611--1.16171518) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16169611--1.16171518) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70468409-1.70473202) × cos(-1.16169611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39778395682335 × 6371000     		do = 121.468116557085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70468409-1.70473202) × cos(-1.16171518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397766460424327 × 6371000     		du = 121.462773821161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16169611)-sin(-1.16171518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39778395682335-0.397766460424327)×R²
    abs(1.70473202-1.70468409)×1.74963990232646e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74963990232646e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74963990232646e-05×40589641000000     		ar = 14757.4406196914m²