Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101096 / 98280
↖ ↑ ↗
← S 66.486976°
E 97.668457°		 ← 121.85 m → S 66.486976°
E 97.671204°		 →
↑
121.81 m
↓
↑
121.81 m
↓
S 66.488071°
E 97.668457°		 ← 121.85 m →
14 843 m²		 S 66.488071°
E 97.671204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771305084228516 y=0.749820709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771305084228516 × 217)
    floor (0.771305084228516 × 131072)
    floor (101096.5)     		tx = 101096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749820709228516 × 217)
    floor (0.749820709228516 × 131072)
    floor (98280.5)     		ty = 98280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101096 / 98280 ti = "17/101096/98280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101096/98280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101096 ÷ 217
    101096 ÷ 131072     		x = 0.77130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98280 ÷ 217
    98280 ÷ 131072     		y = 0.74981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77130126953125 × 2 - 1) × π
    0.5426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70463615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.4996337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56964584115912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70463615} λ = 1.70463615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56964584115912))-π/2
    2×atan(0.208118876446591)-π/2
    2×0.205189844340042-π/2
    0.410379688680085-1.57079632675     		φ = -1.16041664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70463615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16041664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.486976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101096 KachelY 98280 1.70463615 -1.16041664 97.668457 -66.486976
    Oben rechts KachelX + 1 101097 KachelY 98280 1.70468409 -1.16041664 97.671204 -66.486976
    Unten links KachelX 101096 KachelY + 1 98281 1.70463615 -1.16043576 97.668457 -66.488071
    Unten rechts KachelX + 1 101097 KachelY + 1 98281 1.70468409 -1.16043576 97.671204 -66.488071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16041664--1.16043576) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dl = 121.813519999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16041664--1.16043576) × R
    1.91199999999281e-05 × 6371000     		dr = 121.813519999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70463615-1.70468409) × cos(-1.16041664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398957517909633 × 6371000     		do = 121.851895136033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70463615-1.70468409) × cos(-1.16043576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398939985381591 × 6371000     		du = 121.846540250682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16041664)-sin(-1.16043576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398957517909633-0.398939985381591)×R²
    abs(1.70468409-1.70463615)×1.75325280427074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75325280427074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75325280427074e-05×40589641000000     		ar = 14842.882116828m²