Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101095 / 98350
↖ ↑ ↗
← S 66.563562°
E 97.665710°		 ← 121.48 m → S 66.563562°
E 97.668457°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.564654°
E 97.665710°		 ← 121.47 m →
14 751 m²		 S 66.564654°
E 97.668457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771297454833984 y=0.750354766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771297454833984 × 217)
    floor (0.771297454833984 × 131072)
    floor (101095.5)     		tx = 101095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750354766845703 × 217)
    floor (0.750354766845703 × 131072)
    floor (98350.5)     		ty = 98350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101095 / 98350 ti = "17/101095/98350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101095/98350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101095 ÷ 217
    101095 ÷ 131072     		x = 0.771293640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98350 ÷ 217
    98350 ÷ 131072     		y = 0.750350952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771293640136719 × 2 - 1) × π
    0.542587280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70458821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750350952148438 × 2 - 1) × π
    -0.500701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57300142413252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70458821} λ = 1.70458821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57300142413252))-π/2
    2×atan(0.207421686681588)-π/2
    2×0.204521505764671-π/2
    0.409043011529343-1.57079632675     		φ = -1.16175332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70458821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.665710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16175332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.563562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101095 KachelY 98350 1.70458821 -1.16175332 97.665710 -66.563562
    Oben rechts KachelX + 1 101096 KachelY 98350 1.70463615 -1.16175332 97.668457 -66.563562
    Unten links KachelX 101095 KachelY + 1 98351 1.70458821 -1.16177238 97.665710 -66.564654
    Unten rechts KachelX + 1 101096 KachelY + 1 98351 1.70463615 -1.16177238 97.668457 -66.564654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16175332--1.16177238) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dl = 121.431259999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16175332--1.16177238) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dr = 121.431259999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70458821-1.70463615) × cos(-1.16175332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397731467192325 × 6371000     		do = 121.477427688422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70458821-1.70463615) × cos(-1.16177238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397713979534455 × 6371000     		du = 121.472086507576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16175332)-sin(-1.16177238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397731467192325-0.397713979534455)×R²
    abs(1.70463615-1.70458821)×1.74876578706296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74876578706296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74876578706296e-05×40589641000000     		ar = 14750.8328128153m²