Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101093 / 98585
↖ ↑ ↗
← S 66.818953°
E 97.660217°		 ← 120.23 m → S 66.818953°
E 97.662964°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
S 66.820035°
E 97.660217°		 ← 120.22 m →
14 453 m²		 S 66.820035°
E 97.662964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771282196044922 y=0.752147674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771282196044922 × 217)
    floor (0.771282196044922 × 131072)
    floor (101093.5)     		tx = 101093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752147674560547 × 217)
    floor (0.752147674560547 × 131072)
    floor (98585.5)     		ty = 98585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101093 / 98585 ti = "17/101093/98585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101093/98585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101093 ÷ 217
    101093 ÷ 131072     		x = 0.771278381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98585 ÷ 217
    98585 ÷ 131072     		y = 0.752143859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771278381347656 × 2 - 1) × π
    0.542556762695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70449234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752143859863281 × 2 - 1) × π
    -0.504287719726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.58426659554324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70449234} λ = 1.70449234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58426659554324))-π/2
    2×atan(0.205098157874025)-π/2
    2×0.202292794218109-π/2
    0.404585588436218-1.57079632675     		φ = -1.16621074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70449234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.660217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16621074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.818953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101093 KachelY 98585 1.70449234 -1.16621074 97.660217 -66.818953
    Oben rechts KachelX + 1 101094 KachelY 98585 1.70454028 -1.16621074 97.662964 -66.818953
    Unten links KachelX 101093 KachelY + 1 98586 1.70449234 -1.16622961 97.660217 -66.820035
    Unten rechts KachelX + 1 101094 KachelY + 1 98586 1.70454028 -1.16622961 97.662964 -66.820035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16621074--1.16622961) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dl = 120.220770000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16621074--1.16622961) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dr = 120.220770000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70449234-1.70454028) × cos(-1.16621074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393637838377399 × 6371000     		do = 120.227128078339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70449234-1.70454028) × cos(-1.16622961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393620491765354 × 6371000     		du = 120.221829976518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16621074)-sin(-1.16622961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393637838377399-0.393620491765354)×R²
    abs(1.70454028-1.70449234)×1.73466120446109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73466120446109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73466120446109e-05×40589641000000     		ar = 14453.4794421024m²