Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101092 / 98148
↖ ↑ ↗
← S 66.341914°
E 97.657471°		 ← 122.56 m → S 66.341914°
E 97.660217°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.343016°
E 97.657471°		 ← 122.56 m →
15 023 m²		 S 66.343016°
E 97.660217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771274566650391 y=0.748813629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771274566650391 × 217)
    floor (0.771274566650391 × 131072)
    floor (101092.5)     		tx = 101092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748813629150391 × 217)
    floor (0.748813629150391 × 131072)
    floor (98148.5)     		ty = 98148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101092 / 98148 ti = "17/101092/98148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101092/98148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101092 ÷ 217
    101092 ÷ 131072     		x = 0.771270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98148 ÷ 217
    98148 ÷ 131072     		y = 0.748809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771270751953125 × 2 - 1) × π
    0.54254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70444440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.49761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56331817040927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70444440} λ = 1.70444440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56331817040927))-π/2
    2×atan(0.209439959454782)-π/2
    2×0.206455747919515-π/2
    0.412911495839031-1.57079632675     		φ = -1.15788483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70444440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15788483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.341914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101092 KachelY 98148 1.70444440 -1.15788483 97.657471 -66.341914
    Oben rechts KachelX + 1 101093 KachelY 98148 1.70449234 -1.15788483 97.660217 -66.341914
    Unten links KachelX 101092 KachelY + 1 98149 1.70444440 -1.15790407 97.657471 -66.343016
    Unten rechts KachelX + 1 101093 KachelY + 1 98149 1.70449234 -1.15790407 97.660217 -66.343016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15788483--1.15790407) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15788483--1.15790407) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70444440-1.70449234) × cos(-1.15788483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401277829080841 × 6371000     		do = 122.560577892529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70444440-1.70449234) × cos(-1.15790407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401260206005674 × 6371000     		du = 122.555195351755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15788483)-sin(-1.15790407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401277829080841-0.401260206005674)×R²
    abs(1.70449234-1.70444440)×1.762307516745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.762307516745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.762307516745e-05×40589641000000     		ar = 15022.9055292151m²