Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101089 / 98144
↖ ↑ ↗
← S 66.337505°
E 97.649231°		 ← 122.58 m → S 66.337505°
E 97.651978°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.338607°
E 97.649231°		 ← 122.58 m →
15 026 m²		 S 66.338607°
E 97.651978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771251678466797 y=0.748783111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771251678466797 × 217)
    floor (0.771251678466797 × 131072)
    floor (101089.5)     		tx = 101089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748783111572266 × 217)
    floor (0.748783111572266 × 131072)
    floor (98144.5)     		ty = 98144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101089 / 98144 ti = "17/101089/98144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101089/98144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101089 ÷ 217
    101089 ÷ 131072     		x = 0.771247863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98144 ÷ 217
    98144 ÷ 131072     		y = 0.748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771247863769531 × 2 - 1) × π
    0.542495727539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70430059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.49755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56312642281079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70430059} λ = 1.70430059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56312642281079))-π/2
    2×atan(0.209480122914533)-π/2
    2×0.206494223328084-π/2
    0.412988446656169-1.57079632675     		φ = -1.15780788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70430059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.649231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15780788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.337505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101089 KachelY 98144 1.70430059 -1.15780788 97.649231 -66.337505
    Oben rechts KachelX + 1 101090 KachelY 98144 1.70434853 -1.15780788 97.651978 -66.337505
    Unten links KachelX 101089 KachelY + 1 98145 1.70430059 -1.15782712 97.649231 -66.338607
    Unten rechts KachelX + 1 101090 KachelY + 1 98145 1.70434853 -1.15782712 97.651978 -66.338607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15780788--1.15782712) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15780788--1.15782712) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70430059-1.70434853) × cos(-1.15780788) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.40134831073675 × 6371000     		do = 122.582104805009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70430059-1.70434853) × cos(-1.15782712) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.40133068825572 × 6371000     		du = 122.5767224457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15780788)-sin(-1.15782712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40134831073675-0.40133068825572)×R²
    abs(1.70434853-1.70430059)×1.76224810292114e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76224810292114e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76224810292114e-05×40589641000000     		ar = 15025.5442671428m²