Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101088 / 98143
↖ ↑ ↗
← S 66.336403°
E 97.646485°		 ← 122.56 m → S 66.336403°
E 97.649231°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.337505°
E 97.646485°		 ← 122.56 m →
15 023 m²		 S 66.337505°
E 97.649231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771244049072266 y=0.748775482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771244049072266 × 217)
    floor (0.771244049072266 × 131072)
    floor (101088.5)     		tx = 101088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748775482177734 × 217)
    floor (0.748775482177734 × 131072)
    floor (98143.5)     		ty = 98143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101088 / 98143 ti = "17/101088/98143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101088/98143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101088 ÷ 217
    101088 ÷ 131072     		x = 0.771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98143 ÷ 217
    98143 ÷ 131072     		y = 0.748771667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771240234375 × 2 - 1) × π
    0.54248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70425266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748771667480469 × 2 - 1) × π
    -0.497543334960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56307848591117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70425266} λ = 1.70425266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56307848591117))-π/2
    2×atan(0.209490164982849)-π/2
    2×0.20650384323611-π/2
    0.41300768647222-1.57079632675     		φ = -1.15778864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70425266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.646485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15778864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.336403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101088 KachelY 98143 1.70425266 -1.15778864 97.646485 -66.336403
    Oben rechts KachelX + 1 101089 KachelY 98143 1.70430059 -1.15778864 97.649231 -66.336403
    Unten links KachelX 101088 KachelY + 1 98144 1.70425266 -1.15780788 97.646485 -66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 101089 KachelY + 1 98144 1.70430059 -1.15780788 97.649231 -66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15778864--1.15780788) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15778864--1.15780788) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70425266-1.70430059) × cos(-1.15778864) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.401365933069209 × 6371000     		do = 122.561916094365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70425266-1.70430059) × cos(-1.15780788) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 122.556534903152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15778864)-sin(-1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401365933069209-0.40134831073675)×R²
    abs(1.70430059-1.70425266)×1.76223324591107e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76223324591107e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76223324591107e-05×40589641000000     		ar = 15023.0696459597m²