Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101086 / 98014
↖ ↑ ↗
← S 66.193792°
E 97.640991°		 ← 123.28 m → S 66.193792°
E 97.643738°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.194900°
E 97.640991°		 ← 123.28 m →
15 198 m²		 S 66.194900°
E 97.643738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771228790283203 y=0.747791290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771228790283203 × 217)
    floor (0.771228790283203 × 131072)
    floor (101086.5)     		tx = 101086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747791290283203 × 217)
    floor (0.747791290283203 × 131072)
    floor (98014.5)     		ty = 98014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101086 / 98014 ti = "17/101086/98014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101086/98014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101086 ÷ 217
    101086 ÷ 131072     		x = 0.771224975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98014 ÷ 217
    98014 ÷ 131072     		y = 0.747787475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771224975585938 × 2 - 1) × π
    0.542449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70415678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747787475585938 × 2 - 1) × π
    -0.495574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55689462586018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70415678} λ = 1.70415678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55689462586018))-π/2
    2×atan(0.210789636579414)-π/2
    2×0.207748358417678-π/2
    0.415496716835355-1.57079632675     		φ = -1.15529961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70415678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.640991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15529961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.193792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101086 KachelY 98014 1.70415678 -1.15529961 97.640991 -66.193792
    Oben rechts KachelX + 1 101087 KachelY 98014 1.70420472 -1.15529961 97.643738 -66.193792
    Unten links KachelX 101086 KachelY + 1 98015 1.70415678 -1.15531896 97.640991 -66.194900
    Unten rechts KachelX + 1 101087 KachelY + 1 98015 1.70420472 -1.15531896 97.643738 -66.194900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15529961--1.15531896) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dl = 123.278850000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15529961--1.15531896) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dr = 123.278850000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70415678-1.70420472) × cos(-1.15529961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403644434273573 × 6371000     		do = 123.283400034806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70415678-1.70420472) × cos(-1.15531896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403626730574638 × 6371000     		du = 123.277992869459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15529961)-sin(-1.15531896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403644434273573-0.403626730574638)×R²
    abs(1.70420472-1.70415678)×1.7703698935112e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7703698935112e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7703698935112e-05×40589641000000     		ar = 15197.9024863m²