Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101085 / 98333
↖ ↑ ↗
← S 66.544984°
E 97.638244°		 ← 121.57 m → S 66.544984°
E 97.640991°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.546077°
E 97.638244°		 ← 121.56 m →
14 777 m²		 S 66.546077°
E 97.640991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771221160888672 y=0.750225067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771221160888672 × 217)
    floor (0.771221160888672 × 131072)
    floor (101085.5)     		tx = 101085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750225067138672 × 217)
    floor (0.750225067138672 × 131072)
    floor (98333.5)     		ty = 98333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101085 / 98333 ti = "17/101085/98333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101085/98333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101085 ÷ 217
    101085 ÷ 131072     		x = 0.771217346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98333 ÷ 217
    98333 ÷ 131072     		y = 0.750221252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771217346191406 × 2 - 1) × π
    0.542434692382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70410884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750221252441406 × 2 - 1) × π
    -0.500442504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57218649683898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70410884} λ = 1.70410884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57218649683898))-π/2
    2×atan(0.207590789169095)-π/2
    2×0.204683627479092-π/2
    0.409367254958184-1.57079632675     		φ = -1.16142907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70410884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.638244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16142907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.544984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101085 KachelY 98333 1.70410884 -1.16142907 97.638244 -66.544984
    Oben rechts KachelX + 1 101086 KachelY 98333 1.70415678 -1.16142907 97.640991 -66.544984
    Unten links KachelX 101085 KachelY + 1 98334 1.70410884 -1.16144815 97.638244 -66.546077
    Unten rechts KachelX + 1 101086 KachelY + 1 98334 1.70415678 -1.16144815 97.640991 -66.546077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16142907--1.16144815) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16142907--1.16144815) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70410884-1.70415678) × cos(-1.16142907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398028946259846 × 6371000     		do = 121.568285452754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70410884-1.70415678) × cos(-1.16144815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398011442713294 × 6371000     		du = 121.562939419096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16142907)-sin(-1.16144815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398028946259846-0.398011442713294)×R²
    abs(1.70415678-1.70410884)×1.75035465524442e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75035465524442e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75035465524442e-05×40589641000000     		ar = 14777.3553815764m²