Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101084 / 98334
↖ ↑ ↗
← S 66.546077°
E 97.635498°		 ← 121.54 m → S 66.546077°
E 97.638244°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.547170°
E 97.635498°		 ← 121.53 m →
14 774 m²		 S 66.547170°
E 97.638244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771213531494141 y=0.750232696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771213531494141 × 217)
    floor (0.771213531494141 × 131072)
    floor (101084.5)     		tx = 101084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750232696533203 × 217)
    floor (0.750232696533203 × 131072)
    floor (98334.5)     		ty = 98334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101084 / 98334 ti = "17/101084/98334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101084/98334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101084 ÷ 217
    101084 ÷ 131072     		x = 0.771209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98334 ÷ 217
    98334 ÷ 131072     		y = 0.750228881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771209716796875 × 2 - 1) × π
    0.54241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70406091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750228881835938 × 2 - 1) × π
    -0.500457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5722344337386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70406091} λ = 1.70406091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5722344337386))-π/2
    2×atan(0.207580838148785)-π/2
    2×0.204674087552077-π/2
    0.409348175104154-1.57079632675     		φ = -1.16144815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70406091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.635498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16144815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.546077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101084 KachelY 98334 1.70406091 -1.16144815 97.635498 -66.546077
    Oben rechts KachelX + 1 101085 KachelY 98334 1.70410884 -1.16144815 97.638244 -66.546077
    Unten links KachelX 101084 KachelY + 1 98335 1.70406091 -1.16146723 97.635498 -66.547170
    Unten rechts KachelX + 1 101085 KachelY + 1 98335 1.70410884 -1.16146723 97.638244 -66.547170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16144815--1.16146723) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16144815--1.16146723) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70406091-1.70410884) × cos(-1.16144815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.398011442713294 × 6371000     		do = 121.537582110234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70406091-1.70410884) × cos(-1.16146723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397993939021847 × 6371000     		du = 121.532237147482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16144815)-sin(-1.16146723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398011442713294-0.397993939021847)×R²
    abs(1.70410884-1.70406091)×1.75036914470406e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75036914470406e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75036914470406e-05×40589641000000     		ar = 14773.6231888301m²