Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101084 / 97807
↖ ↑ ↗
← S 65.963259°
E 97.635498°		 ← 124.38 m → S 65.963259°
E 97.638244°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.964377°
E 97.635498°		 ← 124.38 m →
15 468 m²		 S 65.964377°
E 97.638244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771213531494141 y=0.746212005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771213531494141 × 217)
    floor (0.771213531494141 × 131072)
    floor (101084.5)     		tx = 101084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746212005615234 × 217)
    floor (0.746212005615234 × 131072)
    floor (97807.5)     		ty = 97807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101084 / 97807 ti = "17/101084/97807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101084/97807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101084 ÷ 217
    101084 ÷ 131072     		x = 0.771209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97807 ÷ 217
    97807 ÷ 131072     		y = 0.746208190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771209716796875 × 2 - 1) × π
    0.54241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70406091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746208190917969 × 2 - 1) × π
    -0.492416381835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54697168763883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70406091} λ = 1.70406091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54697168763883))-π/2
    2×atan(0.212891701201347)-π/2
    2×0.209760140739116-π/2
    0.419520281478232-1.57079632675     		φ = -1.15127605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70406091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.635498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15127605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.963259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101084 KachelY 97807 1.70406091 -1.15127605 97.635498 -65.963259
    Oben rechts KachelX + 1 101085 KachelY 97807 1.70410884 -1.15127605 97.638244 -65.963259
    Unten links KachelX 101084 KachelY + 1 97808 1.70406091 -1.15129557 97.635498 -65.964377
    Unten rechts KachelX + 1 101085 KachelY + 1 97808 1.70410884 -1.15129557 97.638244 -65.964377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15127605--1.15129557) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15127605--1.15129557) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70406091-1.70410884) × cos(-1.15127605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407322376203537 × 6371000     		do = 124.380787662012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70406091-1.70410884) × cos(-1.15129557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407304548813524 × 6371000     		du = 124.375343854008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15127605)-sin(-1.15129557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407322376203537-0.407304548813524)×R²
    abs(1.70410884-1.70406091)×1.78273900129367e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78273900129367e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78273900129367e-05×40589641000000     		ar = 15467.8950638982m²