Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101083 / 98331
↖ ↑ ↗
← S 66.542798°
E 97.632751°		 ← 121.58 m → S 66.542798°
E 97.635498°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.543891°
E 97.632751°		 ← 121.57 m →
14 779 m²		 S 66.543891°
E 97.635498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771205902099609 y=0.750209808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771205902099609 × 217)
    floor (0.771205902099609 × 131072)
    floor (101083.5)     		tx = 101083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750209808349609 × 217)
    floor (0.750209808349609 × 131072)
    floor (98331.5)     		ty = 98331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101083 / 98331 ti = "17/101083/98331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101083/98331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101083 ÷ 217
    101083 ÷ 131072     		x = 0.771202087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98331 ÷ 217
    98331 ÷ 131072     		y = 0.750205993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771202087402344 × 2 - 1) × π
    0.542404174804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70401297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750205993652344 × 2 - 1) × π
    -0.500411987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57209062303974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70401297} λ = 1.70401297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57209062303974))-π/2
    2×atan(0.207610692640835)-π/2
    2×0.204702708591748-π/2
    0.409405417183496-1.57079632675     		φ = -1.16139091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70401297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.632751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16139091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.542798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101083 KachelY 98331 1.70401297 -1.16139091 97.632751 -66.542798
    Oben rechts KachelX + 1 101084 KachelY 98331 1.70406091 -1.16139091 97.635498 -66.542798
    Unten links KachelX 101083 KachelY + 1 98332 1.70401297 -1.16140999 97.632751 -66.543891
    Unten rechts KachelX + 1 101084 KachelY + 1 98332 1.70406091 -1.16140999 97.635498 -66.543891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16139091--1.16140999) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16139091--1.16140999) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70401297-1.70406091) × cos(-1.16139091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398063952918242 × 6371000     		do = 121.578977387299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70401297-1.70406091) × cos(-1.16140999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398046449661498 × 6371000     		du = 121.573631442156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16139091)-sin(-1.16140999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398063952918242-0.398046449661498)×R²
    abs(1.70406091-1.70401297)×1.75032567440447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75032567440447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75032567440447e-05×40589641000000     		ar = 14778.6550844366m²