Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101081 / 99143
↖ ↑ ↗
← S 67.414873°
E 97.627258°		 ← 117.28 m → S 67.414873°
E 97.630005°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.415927°
E 97.627258°		 ← 117.27 m →
13 755 m²		 S 67.415927°
E 97.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771190643310547 y=0.756404876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771190643310547 × 217)
    floor (0.771190643310547 × 131072)
    floor (101081.5)     		tx = 101081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756404876708984 × 217)
    floor (0.756404876708984 × 131072)
    floor (99143.5)     		ty = 99143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101081 / 99143 ti = "17/101081/99143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101081/99143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101081 ÷ 217
    101081 ÷ 131072     		x = 0.771186828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99143 ÷ 217
    99143 ÷ 131072     		y = 0.756401062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771186828613281 × 2 - 1) × π
    0.542373657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70391710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756401062011719 × 2 - 1) × π
    -0.512802124023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61101538553123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70391710} λ = 1.70391710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61101538553123))-π/2
    2×atan(0.199684754091916)-π/2
    2×0.197092420416111-π/2
    0.394184840832222-1.57079632675     		φ = -1.17661149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70391710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.627258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17661149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.414873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101081 KachelY 99143 1.70391710 -1.17661149 97.627258 -67.414873
    Oben rechts KachelX + 1 101082 KachelY 99143 1.70396503 -1.17661149 97.630005 -67.414873
    Unten links KachelX 101081 KachelY + 1 99144 1.70391710 -1.17662990 97.627258 -67.415927
    Unten rechts KachelX + 1 101082 KachelY + 1 99144 1.70396503 -1.17662990 97.630005 -67.415927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17661149--1.17662990) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17661149--1.17662990) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70391710-1.70396503) × cos(-1.17661149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384055668203074 × 6371000     		do = 117.276018475569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70391710-1.70396503) × cos(-1.17662990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384038670002012 × 6371000     		du = 117.270827870386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17661149)-sin(-1.17662990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384055668203074-0.384038670002012)×R²
    abs(1.70396503-1.70391710)×1.69982010623237e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69982010623237e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69982010623237e-05×40589641000000     		ar = 13755.0127043055m²