Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101081 / 98011
↖ ↑ ↗
← S 66.190466°
E 97.627258°		 ← 123.27 m → S 66.190466°
E 97.630005°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.191574°
E 97.627258°		 ← 123.27 m →
15 197 m²		 S 66.191574°
E 97.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771190643310547 y=0.747768402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771190643310547 × 217)
    floor (0.771190643310547 × 131072)
    floor (101081.5)     		tx = 101081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747768402099609 × 217)
    floor (0.747768402099609 × 131072)
    floor (98011.5)     		ty = 98011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101081 / 98011 ti = "17/101081/98011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101081/98011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101081 ÷ 217
    101081 ÷ 131072     		x = 0.771186828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98011 ÷ 217
    98011 ÷ 131072     		y = 0.747764587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771186828613281 × 2 - 1) × π
    0.542373657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70391710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747764587402344 × 2 - 1) × π
    -0.495529174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55675081516132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70391710} λ = 1.70391710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55675081516132))-π/2
    2×atan(0.210819952564192)-π/2
    2×0.207777384521264-π/2
    0.415554769042529-1.57079632675     		φ = -1.15524156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70391710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.627258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15524156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.190466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101081 KachelY 98011 1.70391710 -1.15524156 97.627258 -66.190466
    Oben rechts KachelX + 1 101082 KachelY 98011 1.70396503 -1.15524156 97.630005 -66.190466
    Unten links KachelX 101081 KachelY + 1 98012 1.70391710 -1.15526091 97.627258 -66.191574
    Unten rechts KachelX + 1 101082 KachelY + 1 98012 1.70396503 -1.15526091 97.630005 -66.191574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15524156--1.15526091) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dl = 123.278850000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15524156--1.15526091) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dr = 123.278850000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70391710-1.70396503) × cos(-1.15524156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40369754446355 × 6371000     		do = 123.27390168348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70391710-1.70396503) × cos(-1.15526091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403679841218036 × 6371000     		du = 123.268495784492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15524156)-sin(-1.15526091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40369754446355-0.403679841218036)×R²
    abs(1.70396503-1.70391710)×1.77032455145332e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77032455145332e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77032455145332e-05×40589641000000     		ar = 15196.7316186062m²