Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101080 / 99496
↖ ↑ ↗
← S 67.784335°
E 97.624512°		 ← 115.48 m → S 67.784335°
E 97.627258°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.785373°
E 97.624512°		 ← 115.47 m →
13 331 m²		 S 67.785373°
E 97.627258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771183013916016 y=0.759098052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771183013916016 × 217)
    floor (0.771183013916016 × 131072)
    floor (101080.5)     		tx = 101080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759098052978516 × 217)
    floor (0.759098052978516 × 131072)
    floor (99496.5)     		ty = 99496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101080 / 99496 ti = "17/101080/99496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101080/99496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101080 ÷ 217
    101080 ÷ 131072     		x = 0.77117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99496 ÷ 217
    99496 ÷ 131072     		y = 0.75909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77117919921875 × 2 - 1) × π
    0.5423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70386916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.5181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62793711109711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70386916} λ = 1.70386916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62793711109711))-π/2
    2×atan(0.196334172248131)-π/2
    2×0.193868253457464-π/2
    0.387736506914928-1.57079632675     		φ = -1.18305982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70386916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18305982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.784335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101080 KachelY 99496 1.70386916 -1.18305982 97.624512 -67.784335
    Oben rechts KachelX + 1 101081 KachelY 99496 1.70391710 -1.18305982 97.627258 -67.784335
    Unten links KachelX 101080 KachelY + 1 99497 1.70386916 -1.18307794 97.624512 -67.785373
    Unten rechts KachelX + 1 101081 KachelY + 1 99497 1.70391710 -1.18307794 97.627258 -67.785373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18305982--1.18307794) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18305982--1.18307794) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70386916-1.70391710) × cos(-1.18305982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378093917609967 × 6371000     		do = 115.479614575447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70386916-1.70391710) × cos(-1.18307794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378077142645442 × 6371000     		du = 115.474491069494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18305982)-sin(-1.18307794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378093917609967-0.378077142645442)×R²
    abs(1.70391710-1.70386916)×1.67749645251236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67749645251236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67749645251236e-05×40589641000000     		ar = 13330.9619804039m²