Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101075 / 97811
↖ ↑ ↗
← S 65.967733°
E 97.610779°		 ← 124.36 m → S 65.967733°
E 97.613525°		 →
↑
124.36 m
↓
↑
124.36 m
↓
S 65.968851°
E 97.610779°		 ← 124.35 m →
15 465 m²		 S 65.968851°
E 97.613525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771144866943359 y=0.746242523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771144866943359 × 217)
    floor (0.771144866943359 × 131072)
    floor (101075.5)     		tx = 101075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746242523193359 × 217)
    floor (0.746242523193359 × 131072)
    floor (97811.5)     		ty = 97811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101075 / 97811 ti = "17/101075/97811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101075/97811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101075 ÷ 217
    101075 ÷ 131072     		x = 0.771141052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97811 ÷ 217
    97811 ÷ 131072     		y = 0.746238708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771141052246094 × 2 - 1) × π
    0.542282104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70362948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746238708496094 × 2 - 1) × π
    -0.492477416992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54716343523731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70362948} λ = 1.70362948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54716343523731))-π/2
    2×atan(0.212850883642365)-π/2
    2×0.209721092614179-π/2
    0.419442185228358-1.57079632675     		φ = -1.15135414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70362948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.610779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15135414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.967733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101075 KachelY 97811 1.70362948 -1.15135414 97.610779 -65.967733
    Oben rechts KachelX + 1 101076 KachelY 97811 1.70367741 -1.15135414 97.613525 -65.967733
    Unten links KachelX 101075 KachelY + 1 97812 1.70362948 -1.15137366 97.610779 -65.968851
    Unten rechts KachelX + 1 101076 KachelY + 1 97812 1.70367741 -1.15137366 97.613525 -65.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15135414--1.15137366) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dl = 124.361919999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15135414--1.15137366) × R
    1.95199999999396e-05 × 6371000     		dr = 124.361919999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70362948-1.70367741) × cos(-1.15135414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407251056579177 × 6371000     		do = 124.359009356738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70362948-1.70367741) × cos(-1.15137366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407233228568344 × 6371000     		du = 124.35356535916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15135414)-sin(-1.15137366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407251056579177-0.407233228568344)×R²
    abs(1.70367741-1.70362948)×1.78280108333873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78280108333873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78280108333873e-05×40589641000000     		ar = 15465.1866604015m²