Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101074 / 98338
↖ ↑ ↗
← S 66.550449°
E 97.608032°		 ← 121.54 m → S 66.550449°
E 97.610779°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.551543°
E 97.608032°		 ← 121.54 m →
14 774 m²		 S 66.551543°
E 97.610779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771137237548828 y=0.750263214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771137237548828 × 217)
    floor (0.771137237548828 × 131072)
    floor (101074.5)     		tx = 101074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750263214111328 × 217)
    floor (0.750263214111328 × 131072)
    floor (98338.5)     		ty = 98338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101074 / 98338 ti = "17/101074/98338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101074/98338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101074 ÷ 217
    101074 ÷ 131072     		x = 0.771133422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98338 ÷ 217
    98338 ÷ 131072     		y = 0.750259399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771133422851562 × 2 - 1) × π
    0.542266845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70358154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750259399414062 × 2 - 1) × π
    -0.500518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57242618133708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70358154} λ = 1.70358154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57242618133708))-π/2
    2×atan(0.207541038837413)-π/2
    2×0.20463593203909-π/2
    0.409271864078179-1.57079632675     		φ = -1.16152446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70358154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.608032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16152446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.550449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101074 KachelY 98338 1.70358154 -1.16152446 97.608032 -66.550449
    Oben rechts KachelX + 1 101075 KachelY 98338 1.70362948 -1.16152446 97.610779 -66.550449
    Unten links KachelX 101074 KachelY + 1 98339 1.70358154 -1.16154354 97.608032 -66.551543
    Unten rechts KachelX + 1 101075 KachelY + 1 98339 1.70362948 -1.16154354 97.610779 -66.551543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16152446--1.16154354) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16152446--1.16154354) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70358154-1.70362948) × cos(-1.16152446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397941436252309 × 6371000     		do = 121.541557643945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70358154-1.70362948) × cos(-1.16154354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397923931981424 × 6371000     		du = 121.536211389056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16152446)-sin(-1.16154354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397941436252309-0.397923931981424)×R²
    abs(1.70362948-1.70358154)×1.75042708859263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75042708859263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75042708859263e-05×40589641000000     		ar = 14774.1063708134m²