Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101072 / 98387
↖ ↑ ↗
← S 66.603948°
E 97.602539°		 ← 121.28 m → S 66.603948°
E 97.605286°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.605038°
E 97.602539°		 ← 121.27 m →
14 711 m²		 S 66.605038°
E 97.605286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771121978759766 y=0.750637054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771121978759766 × 217)
    floor (0.771121978759766 × 131072)
    floor (101072.5)     		tx = 101072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750637054443359 × 217)
    floor (0.750637054443359 × 131072)
    floor (98387.5)     		ty = 98387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101072 / 98387 ti = "17/101072/98387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101072/98387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101072 ÷ 217
    101072 ÷ 131072     		x = 0.7711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98387 ÷ 217
    98387 ÷ 131072     		y = 0.750633239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7711181640625 × 2 - 1) × π
    0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750633239746094 × 2 - 1) × π
    -0.501266479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57477508941846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70348566} λ = 1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57477508941846))-π/2
    2×atan(0.207054116106316)-π/2
    2×0.204169071385068-π/2
    0.408338142770137-1.57079632675     		φ = -1.16245818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16245818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.603948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101072 KachelY 98387 1.70348566 -1.16245818 97.602539 -66.603948
    Oben rechts KachelX + 1 101073 KachelY 98387 1.70353360 -1.16245818 97.605286 -66.603948
    Unten links KachelX 101072 KachelY + 1 98388 1.70348566 -1.16247722 97.602539 -66.605038
    Unten rechts KachelX + 1 101073 KachelY + 1 98388 1.70353360 -1.16247722 97.605286 -66.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16245818--1.16247722) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16245818--1.16247722) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70348566-1.70353360) × cos(-1.16245818) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397084658076359 × 6371000     		do = 121.279875536101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70348566-1.70353360) × cos(-1.16247722) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397067183435366 × 6371000     		du = 121.274538330945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16245818)-sin(-1.16247722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397084658076359-0.397067183435366)×R²
    abs(1.70353360-1.70348566)×1.74746409933868e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74746409933868e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74746409933868e-05×40589641000000     		ar = 14711.3909059109m²