Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101072 / 97975
↖ ↑ ↗
← S 66.150518°
E 97.602539°		 ← 123.49 m → S 66.150518°
E 97.605286°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.151628°
E 97.602539°		 ← 123.49 m →
15 248 m²		 S 66.151628°
E 97.605286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771121978759766 y=0.747493743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771121978759766 × 217)
    floor (0.771121978759766 × 131072)
    floor (101072.5)     		tx = 101072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747493743896484 × 217)
    floor (0.747493743896484 × 131072)
    floor (97975.5)     		ty = 97975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101072 / 97975 ti = "17/101072/97975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101072/97975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101072 ÷ 217
    101072 ÷ 131072     		x = 0.7711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97975 ÷ 217
    97975 ÷ 131072     		y = 0.747489929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7711181640625 × 2 - 1) × π
    0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747489929199219 × 2 - 1) × π
    -0.494979858398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.555025086775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70348566} λ = 1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.555025086775))-π/2
    2×atan(0.211184084646901)-π/2
    2×0.208125995781878-π/2
    0.416251991563756-1.57079632675     		φ = -1.15454434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15454434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.150518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101072 KachelY 97975 1.70348566 -1.15454434 97.602539 -66.150518
    Oben rechts KachelX + 1 101073 KachelY 97975 1.70353360 -1.15454434 97.605286 -66.150518
    Unten links KachelX 101072 KachelY + 1 97976 1.70348566 -1.15456372 97.602539 -66.151628
    Unten rechts KachelX + 1 101073 KachelY + 1 97976 1.70353360 -1.15456372 97.605286 -66.151628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15454434--1.15456372) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15454434--1.15456372) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70348566-1.70353360) × cos(-1.15454434) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404335327641161 × 6371000     		do = 123.494416653435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70348566-1.70353360) × cos(-1.15456372) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404317602407637 × 6371000     		du = 123.489002910869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15454434)-sin(-1.15456372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404335327641161-0.404317602407637)×R²
    abs(1.70353360-1.70348566)×1.77252335237243e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77252335237243e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77252335237243e-05×40589641000000     		ar = 15247.5189375204m²