Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101070 / 97966
↖ ↑ ↗
← S 66.140521°
E 97.597046°		 ← 123.54 m → S 66.140521°
E 97.599793°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.141632°
E 97.597046°		 ← 123.54 m →
15 261 m²		 S 66.141632°
E 97.599793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771106719970703 y=0.747425079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771106719970703 × 217)
    floor (0.771106719970703 × 131072)
    floor (101070.5)     		tx = 101070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747425079345703 × 217)
    floor (0.747425079345703 × 131072)
    floor (97966.5)     		ty = 97966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101070 / 97966 ti = "17/101070/97966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101070/97966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101070 ÷ 217
    101070 ÷ 131072     		x = 0.771102905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97966 ÷ 217
    97966 ÷ 131072     		y = 0.747421264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771102905273438 × 2 - 1) × π
    0.542205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70338979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747421264648438 × 2 - 1) × π
    -0.494842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55459365467842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70338979} λ = 1.70338979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55459365467842))-π/2
    2×atan(0.211275215896364)-π/2
    2×0.2082132346122-π/2
    0.4164264692244-1.57079632675     		φ = -1.15436986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70338979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15436986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.140521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101070 KachelY 97966 1.70338979 -1.15436986 97.597046 -66.140521
    Oben rechts KachelX + 1 101071 KachelY 97966 1.70343773 -1.15436986 97.599793 -66.140521
    Unten links KachelX 101070 KachelY + 1 97967 1.70338979 -1.15438925 97.597046 -66.141632
    Unten rechts KachelX + 1 101071 KachelY + 1 97967 1.70343773 -1.15438925 97.599793 -66.141632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15436986--1.15438925) × R
    1.93899999998415e-05 × 6371000     		dl = 123.53368999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15436986--1.15438925) × R
    1.93899999998415e-05 × 6371000     		dr = 123.53368999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70338979-1.70343773) × cos(-1.15436986) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404494902780699 × 6371000     		do = 123.543155008514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70338979-1.70343773) × cos(-1.15438925) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404477169769163 × 6371000     		du = 123.537738890343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15436986)-sin(-1.15438925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404494902780699-0.404477169769163)×R²
    abs(1.70343773-1.70338979)×1.77330115360697e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77330115360697e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77330115360697e-05×40589641000000     		ar = 15261.4072761637m²