Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10107 / 2443
↖ ↑ ↗
← N 77.413467°
E 42.077637°		 ← 532.42 m → N 77.413467°
E 42.099610°		 →
↑
532.55 m
↓
↑
532.55 m
↓
N 77.408678°
E 42.077637°		 ← 532.62 m →
283 597 m²		 N 77.408678°
E 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616912841796875 y=0.149139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616912841796875 × 214)
    floor (0.616912841796875 × 16384)
    floor (10107.5)     		tx = 10107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149139404296875 × 214)
    floor (0.149139404296875 × 16384)
    floor (2443.5)     		ty = 2443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10107 / 2443 ti = "14/10107/2443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10107/2443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10107 ÷ 214
    10107 ÷ 16384     		x = 0.61688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2443 ÷ 214
    2443 ÷ 16384     		y = 0.14910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61688232421875 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73439330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14910888671875 × 2 - 1) × π
    0.7017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20471388732562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73439330} λ = 0.73439330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20471388732562))-π/2
    2×atan(9.06765682513515)-π/2
    2×1.46095810697134-π/2
    2.92191621394268-1.57079632675     		φ = 1.35111989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73439330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35111989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.413467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10107 KachelY 2443 0.73439330 1.35111989 42.077637 77.413467
    Oben rechts KachelX + 1 10108 KachelY 2443 0.73477680 1.35111989 42.099610 77.413467
    Unten links KachelX 10107 KachelY + 1 2444 0.73439330 1.35103630 42.077637 77.408678
    Unten rechts KachelX + 1 10108 KachelY + 1 2444 0.73477680 1.35103630 42.099610 77.408678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35111989-1.35103630) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dl = 532.551890000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35111989-1.35103630) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dr = 532.551890000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73439330-0.73477680) × cos(1.35111989) × R
    0.000383499999999981 × 0.217913847156248 × 6371000     		do = 532.424217609121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73439330-0.73477680) × cos(1.35103630) × R
    0.000383499999999981 × 0.217995427560739 × 6371000     		du = 532.623541257435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35111989)-sin(1.35103630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217913847156248-0.217995427560739)×R²
    abs(0.73477680-0.73439330)×8.15804044907165e-05×R²
    0.000383499999999981×8.15804044907165e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.15804044907165e-05×40589641000000     		ar = 283596.598628217m²