Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101067 / 97876
↖ ↑ ↗
← S 66.040335°
E 97.588806°		 ← 124.03 m → S 66.040335°
E 97.591553°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.041451°
E 97.588806°		 ← 124.03 m →
15 385 m²		 S 66.041451°
E 97.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771083831787109 y=0.746738433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771083831787109 × 217)
    floor (0.771083831787109 × 131072)
    floor (101067.5)     		tx = 101067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746738433837891 × 217)
    floor (0.746738433837891 × 131072)
    floor (97876.5)     		ty = 97876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101067 / 97876 ti = "17/101067/97876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101067/97876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101067 ÷ 217
    101067 ÷ 131072     		x = 0.771080017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97876 ÷ 217
    97876 ÷ 131072     		y = 0.746734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771080017089844 × 2 - 1) × π
    0.542160034179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70324598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.49346923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55027933371262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70324598} λ = 1.70324598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55027933371262))-π/2
    2×atan(0.212188694092018)-π/2
    2×0.209087518253964-π/2
    0.418175036507929-1.57079632675     		φ = -1.15262129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70324598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.588806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15262129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.040335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101067 KachelY 97876 1.70324598 -1.15262129 97.588806 -66.040335
    Oben rechts KachelX + 1 101068 KachelY 97876 1.70329392 -1.15262129 97.591553 -66.040335
    Unten links KachelX 101067 KachelY + 1 97877 1.70324598 -1.15264076 97.588806 -66.041451
    Unten rechts KachelX + 1 101068 KachelY + 1 97877 1.70329392 -1.15264076 97.591553 -66.041451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15262129--1.15264076) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15262129--1.15264076) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70324598-1.70329392) × cos(-1.15262129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406093421244466 × 6371000     		do = 124.031383692641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70324598-1.70329392) × cos(-1.15264076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406075628866882 × 6371000     		du = 124.025949442552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15262129)-sin(-1.15264076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406093421244466-0.406075628866882)×R²
    abs(1.70329392-1.70324598)×1.77923775835365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77923775835365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77923775835365e-05×40589641000000     		ar = 15384.9337780396m²