Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101066 / 98494
↖ ↑ ↗
← S 66.720370°
E 97.586059°		 ← 120.71 m → S 66.720370°
E 97.588806°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.721456°
E 97.586059°		 ← 120.70 m →
14 573 m²		 S 66.721456°
E 97.588806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771076202392578 y=0.751453399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771076202392578 × 217)
    floor (0.771076202392578 × 131072)
    floor (101066.5)     		tx = 101066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751453399658203 × 217)
    floor (0.751453399658203 × 131072)
    floor (98494.5)     		ty = 98494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101066 / 98494 ti = "17/101066/98494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101066/98494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101066 ÷ 217
    101066 ÷ 131072     		x = 0.771072387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98494 ÷ 217
    98494 ÷ 131072     		y = 0.751449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771072387695312 × 2 - 1) × π
    0.542144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70319804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751449584960938 × 2 - 1) × π
    -0.502899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57990433767781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70319804} λ = 1.70319804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57990433767781))-π/2
    2×atan(0.205994803203589)-π/2
    2×0.203153092453268-π/2
    0.406306184906537-1.57079632675     		φ = -1.16449014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70319804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.586059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16449014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.720370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101066 KachelY 98494 1.70319804 -1.16449014 97.586059 -66.720370
    Oben rechts KachelX + 1 101067 KachelY 98494 1.70324598 -1.16449014 97.588806 -66.720370
    Unten links KachelX 101066 KachelY + 1 98495 1.70319804 -1.16450909 97.586059 -66.721456
    Unten rechts KachelX + 1 101067 KachelY + 1 98495 1.70324598 -1.16450909 97.588806 -66.721456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16449014--1.16450909) × R
    1.8949999999851e-05 × 6371000     		dl = 120.730449999051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16449014--1.16450909) × R
    1.8949999999851e-05 × 6371000     		dr = 120.730449999051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70319804-1.70324598) × cos(-1.16449014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395218943321371 × 6371000     		do = 120.710038225869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70319804-1.70324598) × cos(-1.16450909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395201536027686 × 6371000     		du = 120.704721590313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16449014)-sin(-1.16450909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395218943321371-0.395201536027686)×R²
    abs(1.70324598-1.70319804)×1.74072936853786e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74072936853786e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74072936853786e-05×40589641000000     		ar = 14573.0562950195m²