Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101065 / 97880
↖ ↑ ↗
← S 66.044796°
E 97.583313°		 ← 123.98 m → S 66.044796°
E 97.586059°		 →
↑
123.98 m
↓
↑
123.98 m
↓
S 66.045911°
E 97.583313°		 ← 123.98 m →
15 371 m²		 S 66.045911°
E 97.586059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771068572998047 y=0.746768951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771068572998047 × 217)
    floor (0.771068572998047 × 131072)
    floor (101065.5)     		tx = 101065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746768951416016 × 217)
    floor (0.746768951416016 × 131072)
    floor (97880.5)     		ty = 97880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101065 / 97880 ti = "17/101065/97880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101065/97880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101065 ÷ 217
    101065 ÷ 131072     		x = 0.771064758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97880 ÷ 217
    97880 ÷ 131072     		y = 0.74676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771064758300781 × 2 - 1) × π
    0.542129516601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70315011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4935302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5504710813111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70315011} λ = 1.70315011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5504710813111))-π/2
    2×atan(0.212148011320038)-π/2
    2×0.209048587945769-π/2
    0.418097175891538-1.57079632675     		φ = -1.15269915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70315011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.583313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15269915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.044796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101065 KachelY 97880 1.70315011 -1.15269915 97.583313 -66.044796
    Oben rechts KachelX + 1 101066 KachelY 97880 1.70319804 -1.15269915 97.586059 -66.044796
    Unten links KachelX 101065 KachelY + 1 97881 1.70315011 -1.15271861 97.583313 -66.045911
    Unten rechts KachelX + 1 101066 KachelY + 1 97881 1.70319804 -1.15271861 97.586059 -66.045911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15269915--1.15271861) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dl = 123.979660000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15269915--1.15271861) × R
    1.94600000000822e-05 × 6371000     		dr = 123.979660000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70315011-1.70319804) × cos(-1.15269915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40602226908781 × 6371000     		do = 123.983784313936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70315011-1.70319804) × cos(-1.15271861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406004485233393 × 6371000     		du = 123.97835380005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15269915)-sin(-1.15271861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40602226908781-0.406004485233393)×R²
    abs(1.70319804-1.70315011)×1.77838544162534e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77838544162534e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77838544162534e-05×40589641000000     		ar = 15371.1307887916m²