Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101063 / 98073
↖ ↑ ↗
← S 66.259117°
E 97.577820°		 ← 122.96 m → S 66.259117°
E 97.580566°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
S 66.260223°
E 97.577820°		 ← 122.96 m →
15 119 m²		 S 66.260223°
E 97.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771053314208984 y=0.748241424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771053314208984 × 217)
    floor (0.771053314208984 × 131072)
    floor (101063.5)     		tx = 101063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748241424560547 × 217)
    floor (0.748241424560547 × 131072)
    floor (98073.5)     		ty = 98073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101063 / 98073 ti = "17/101063/98073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101063/98073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101063 ÷ 217
    101063 ÷ 131072     		x = 0.771049499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98073 ÷ 217
    98073 ÷ 131072     		y = 0.748237609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771049499511719 × 2 - 1) × π
    0.542098999023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70305423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748237609863281 × 2 - 1) × π
    -0.496475219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.55972290293777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70305423} λ = 1.70305423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55972290293777))-π/2
    2×atan(0.210194307356925)-π/2
    2×0.207178287277229-π/2
    0.414356574554457-1.57079632675     		φ = -1.15643975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70305423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.577820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15643975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.259117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101063 KachelY 98073 1.70305423 -1.15643975 97.577820 -66.259117
    Oben rechts KachelX + 1 101064 KachelY 98073 1.70310217 -1.15643975 97.580566 -66.259117
    Unten links KachelX 101063 KachelY + 1 98074 1.70305423 -1.15645905 97.577820 -66.260223
    Unten rechts KachelX + 1 101064 KachelY + 1 98074 1.70310217 -1.15645905 97.580566 -66.260223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15643975--1.15645905) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dl = 122.960299999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15643975--1.15645905) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dr = 122.960299999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70305423-1.70310217) × cos(-1.15643975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402601039891292 × 6371000     		do = 122.964720533487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70305423-1.70310217) × cos(-1.15645905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402583373068142 × 6371000     		du = 122.959324630953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15643975)-sin(-1.15645905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402601039891292-0.402583373068142)×R²
    abs(1.70310217-1.70305423)×1.76668231505195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76668231505195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76668231505195e-05×40589641000000     		ar = 15119.44718578m²